Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-g y 1-h de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h

Calcular las siguientes integrales por partes:

g) I = ∫ln (x² + 1)·dx

h) I = ∫sen ln x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

g)

I = ∫ln (x² + 1)·dx

u = ln (x² + 1)

dv = dx

v = x

du =	2·x	·dx
	x² + 1

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x·ln (x² + 1) - ∫x·	2·x	·dx
	x² + 1

I = x·ln (x² + 1) - 2·∫	x²	·dx
	x² + 1

Para resolver la integra trabajamos con la fracción:

I = x·ln (x² + 1) - 2·∫(	-1	+ 1)·dx
	x² + 1

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = x·ln (x² + 1) - 2·(∫-	1	·dx + ∫dx)
	x² + 1

Integramos:

I = x·ln (x² + 1) - 2·(-arc tg x + x) + C

I = x·ln (x² + 1) - 2·x + 2·arc tg x + C

h)

I = ∫sen (ln x)·dx

u = sen (ln x)

dv = dx

v = x

Para "du" hacemos:

w = ln x

Así:

du = cos w·w'·dw

Reemplazamos:

du = cos (ln x)·w'·dw

du = cos (ln x)·	1	·dx
	x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x·sen (ln x) - ∫x·cos (ln x)·	1	·dx
	x

I = x·sen (ln x) - ∫cos (ln x)·dx

Para integrar debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = cos (ln x)

dv = dx

v = x

Así:

du = -sen w·w'·dw

Reemplazamos:

du = -sen (ln x)·w'·dw

du = -sen (ln x)·	1	·dx
	x

I = x·sen (ln x) - [x·cos (ln x) - ∫x·(-sen (ln x))·	1	·dx]
	x

I = x·sen (ln x) - [x·cos (ln x) - ∫(-sen (ln x))·dx]

I = x·sen (ln x) - x·cos (ln x) + ∫(-sen (ln x))·dx

I = x·sen (ln x) - x·cos (ln x) - ∫sen (ln x)·dx

El último término es igual a la integral inicial.

I = ∫sen (ln x)·dx = x·sen (ln x) - x·cos (ln x) - ∫sen (ln x)·dx

Pasamos el término:

I = ∫sen (ln x)·dx + ∫sen (ln x)·dx = x·sen (ln x) - x·cos (ln x)

I = 2·∫sen (ln x)·dx = x·sen (ln x) - x·cos (ln x)

Despejamos:

I = ∫sen (ln x)·dx = ½·[x·sen (ln x) - x·cos (ln x)]

I = ½·x·(sen ln x - cos ln x) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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