Ejemplo, cómo integrar funciones por partes
Problemas n° 1-i y 1-j de integración por partes - TP18
Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j
Calcular las siguientes integrales por partes:
i) I = ∫x·sec² x·dx
j) I = ∫e2·x·cos ½·x·dx
Solución
Fórmulas:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
i)
I = ∫x·sec² x·dx
u = x
dv = sec² x·dx
v = tg x
du = dx
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = x²·tg x - ∫tg x·dx
De tablas:
I = x·tg x - (-ln |cos x|)·dx + C
I = x·tg x + ln |cos x| + C
j)
I = ∫e2·x·cos (½·x)·dx
u = cos (½·x)
dv = e2·x·dx
v = ½·e2·x
du = -½·sen (½·x)·dx
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = ½·e2·x·cos (½·x) - ∫½·e2·x·[-½·sen (½·x)·dx]
I = ½·e2·x·cos (½·x) - ½·∫e2·x·[-½·sen (½·x)·dx]
I = ½·e2·x·cos (½·x) + ¼·∫e2·x·sen (½·x)·dx
Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:
u = sen (½·x)
dv = e2·x·dx
v = ½·e2·x
du = ½·cos (½·x)·dx
I = ½·e2·x·cos (½·x) + ¼·[½·e2·x·sen (½·x) - ∫½·e2·x·½·cos (½·x)·dx]
I = ½·e2·x·cos (½·x) + ¼·[½·e2·x·sen (½·x) - ½·½·∫e2·x·cos (½·x)·dx]
I = ½·e2·x·cos (½·x) + ¼·½·e2·x·sen (½·x) - ¼·¼·∫e2·x·cos (½·x)·dx
I = | 1 | ·e2·x·cos (½·x) + | 1 | ·e2·x·sen (½·x) - | 1 | ·∫e2·x·cos (½·x)·dx |
2 | 8 | 16 |
El último término es igual a la integral inicial.
I = ∫e2·x·cos (½·x)·dx = | 1 | ·e2·x·cos (½·x) + | 1 | ·e2·x·sen (½·x) - | 1 | ·∫e2·x·cos (½·x)·dx |
2 | 8 | 16 |
Pasamos el término:
I = ∫e2·x·cos (½·x)·dx + | 1 | ·∫e2·x·cos (½·x)·dx = | 1 | ·e2·x·cos (½·x) + | 1 | ·e2·x·sen (½·x) |
16 | 2 | 8 |
Sumamos las fracciones:
I = | 16 + 1 | ·∫e2·x·cos (½·x)·dx = | 4·e2·x·cos (½·x) + e2·x·sen (½·x) |
16 | 8 |
I = | 17 | ·∫e2·x·cos (½·x)·dx = | 4·e2·x·cos (½·x) + e2·x·sen (½·x) |
16 | 8 |
I = ∫e2·x·cos (½·x)·dx = | 16 | · | 4·e2·x·cos (½·x) + e2·x·sen (½·x) |
17 | 8 |
Simplificamos y despejamos:
I = | 2 | ·[4·e2·x·cos (½·x) + e2·x·sen (½·x)] + C |
17 |
I = | 2 | ·e2·x·(4·cos ½·x + sen ½·x) + C |
17 |
- ‹ Anterior
- |
- Regresar a la guía TP18
- |
- Siguiente ›
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar