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Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

Problemas n° 1-a y 1-b de integración por sustitución - TP23

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

a) I = cos x·dx
x
b) I = sen4 x·cos x·dx
x

Solución

a)

I = cos x·dx
x

Aplicamos el método de sustitución, sustituimos:

u = x

Derivamos:

du = ½·1·dx
x

Despejamos "dx":

2·du =1·dx
x

Reemplazamos:

I = cos u·2·du

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = 2·cos u·du

Integramos:

I = 2·sen u + C

Reemplazamos:

I = 2·sen x + C

b)

I = sen4 x·cos x·dx
x

Aplicamos el método de sustitución, sustituimos:

u = x

Derivamos:

du = ½·1·dx
x

Despejamos "dx":

2·du =1·dx
x

Reemplazamos:

I = sen4 u·cos u·2·du

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = 2·sen4 u·cos u·du

Nuevamente aplicamos el método de sustitución:

v = sen u

Derivamos:

dv = cos u·du

Reemplazamos:

I = 2·v4·dv

Integramos:

I = 2·v4 + 1+ C
4 + 1
I = 2·v5+ C
5
I =2·v5 + C
5

Reemplazamos "v":

I = ⅖·sen5 u + C

Reemplazamos "u":

I = ⅖·sen5 x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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