Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución
Problemas n° 1-c y 1-d de integración por sustitución - TP23
Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
c) I = ∫ | sen x | ·dx |
cos4 x |
d) I = ∫tg (3·x)·dx
Solución
c)
I = ∫ | sen x | ·dx |
cos4 x |
Aplicamos el método de sustitución, sustituimos:
u = cos x
Derivamos:
du = -sen x·dx
-du = sen x·dx
Reemplazamos:
I = ∫ | 1 | ·(-du) |
u4 |
I = -∫ | 1 | ·du |
u4 |
I = -∫u-4·du
Integramos:
I = - | u-4 + 1 | + C |
-4 + 1 |
I = - | u-3 | + C |
-3 |
I = ⅓·u-3 + C
I = ⅓· | 1 | + C |
u³ |
Reemplazamos:
I = ⅓· | 1 | + C |
cos³ x |
I = ⅓·sec³ + C
d)
I = ∫tg (3·x)·dx
Aplicamos el método de sustitución sin integrar, sustituimos:
u = 3·x
Derivamos:
du = 3·dx
⅓·du = dx
Reemplazamos:
I = ∫tg u·⅓·du
I = ⅓·∫tg u·du
De las identidades y relaciones trigonométricas:
I = ⅓·∫ | sen u | ·du |
cos u |
Nuevamente aplicamos el método de sustitución:
v = cos u
Derivamos:
dv = -sen u·du
Reemplazamos:
I = ∫ | -1 | ·dv |
v |
I = -∫ | 1 | ·dv |
v |
Integramos:
I = -ln |v| + C
Reemplazamos "v":
I = -ln |cos u| + C
Reemplazamos "u":
I = -ln cos (3·x) + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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