Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

Problemas n° 1-c y 1-d de integración por sustitución - TP23

Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

c) I = ∫	sen x	·dx
	cos⁴ x

d) I = ∫tg (3·x)·dx

Solución

c)

I = ∫	sen x	·dx
	cos⁴ x

Aplicamos el método de sustitución, sustituimos:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

-du = sen x·dx

Reemplazamos:

I = ∫	1	·(-du)
	u⁴

I = -∫	1	·du
	u⁴

I = -∫u^-4·du

Integramos:

I = -	u^{-4 + 1}	+ C
	-4 + 1

I = -	u^-3	+ C
	-3

I = ⅓·u^-3 + C

I = ⅓·	1	+ C
	u³

Reemplazamos:

I = ⅓·	1	+ C
	cos³ x

I = ⅓·sec³ + C

d)

I = ∫tg (3·x)·dx

Aplicamos el método de sustitución sin integrar, sustituimos:

u = 3·x

Derivamos:

du = 3·dx

⅓·du = dx

Reemplazamos:

I = ∫tg u·⅓·du

I = ⅓·∫tg u·du

De las identidades y relaciones trigonométricas:

I = ⅓·∫	sen u	·du
	cos u

Nuevamente aplicamos el método de sustitución:

v = cos u

Derivamos:

dv = -sen u·du

Reemplazamos:

I = ∫	-1	·dv
	v

I = -∫	1	·dv
	v

Integramos:

I = -ln |v| + C

Reemplazamos "v":

I = -ln |cos u| + C

Reemplazamos "u":

I = -ln cos (3·x) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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