Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

Problemas n° 1-e y 1-f de integración por sustitución - TP23

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

e) I = ∫	1 + x	·dx
	1 - x

f) I = ∫(√5)^{cos (2·x)}·ln √5·sen (2·x)·dx

Solución

e)

I = ∫	1 + x	·dx
	1 - x

Descomponemos la fracción:

I = ∫(	2	- 1)·dx
	1 - x

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ∫	2	·dx - ∫·dx
	1 - x

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = 2·∫	1	·dx - ∫·dx
	1 - x

Integramos:

I = -2·ln (1 - x) - x + C

f)

I = ∫(√5)^{cos (2·x)}·ln √5·sen (2·x)·dx

Aplicamos el método de sustitución sin integrar, sustituimos:

u = 2·x

Derivamos:

du = 2·dx

½·du = dx

Reemplazamos:

I = ∫(√5)^{cos u}·ln √5·sen u·½·du

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = ½·∫(√5)^{cos u}·ln √5·sen u·du

Nuevamente aplicamos el método de sustitución:

v = cos u

Derivamos:

dv = -sen u·du

Reemplazamos:

I = ½·∫(√5)^v·ln √5·(-dv)

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = -½·ln √5·∫(√5)^v·dv

De tablas:

y = a^x ⇒ I = a^x/ln a

Integramos:

I = -½·ln √5·∫(√5)^v·dv

I = -½·ln √5·	(√5)^v	+ C
	ln √5

Simplificamos:

I = -½·(√5)^v + C

Reemplazamos "v":

I = -½·(√5)^{cos u} + C

Reemplazamos "u":

I = -½·(√5)^{cos (2·x)} + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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