Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución
Problemas n° 1-e y 1-f de integración por sustitución - TP23
Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
e) I = ∫ | 1 + x | ·dx |
1 - x |
f) I = ∫(√5)cos (2·x)·ln √5·sen (2·x)·dx
Solución
e)
I = ∫ | 1 + x | ·dx |
1 - x |
Descomponemos la fracción:
I = ∫( | 2 | - 1)·dx |
1 - x |
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
I = ∫ | 2 | ·dx - ∫·dx |
1 - x |
Extraemos la constante fuera del signo de integral:
I = 2·∫ | 1 | ·dx - ∫·dx |
1 - x |
Integramos:
I = -2·ln (1 - x) - x + C
f)
I = ∫(√5)cos (2·x)·ln √5·sen (2·x)·dx
Aplicamos el método de sustitución sin integrar, sustituimos:
u = 2·x
Derivamos:
du = 2·dx
½·du = dx
Reemplazamos:
I = ∫(√5)cos u·ln √5·sen u·½·du
Extraemos la constante fuera del signo de integral:
I = ½·∫(√5)cos u·ln √5·sen u·du
Nuevamente aplicamos el método de sustitución:
v = cos u
Derivamos:
dv = -sen u·du
Reemplazamos:
I = ½·∫(√5)v·ln √5·(-dv)
Extraemos la constante fuera del signo de integral:
I = -½·ln √5·∫(√5)v·dv
De tablas:
y = ax ⇒ I = ax/ln a
Integramos:
I = -½·ln √5·∫(√5)v·dv
I = -½·ln √5· | (√5)v | + C |
ln √5 |
Simplificamos:
I = -½·(√5)v + C
Reemplazamos "v":
I = -½·(√5)cos u + C
Reemplazamos "u":
I = -½·(√5)cos (2·x) + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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