Problemas n° 1-e y 1-f de integración por sustitución - TP23

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

e) I = 1 + x·dx
1 - x

f) I = (5)cos (2·x)·ln 5·sen (2·x)·dx

Solución

e)

I = 1 + x·dx
1 - x

Descomponemos la fracción:

I = (2- 1)·dx
1 - x

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = 2·dx - ·dx
1 - x

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = 2·1·dx - ·dx
1 - x

Integramos:

I = -2·ln (1 - x) - x + C

f)

I = (5)cos (2·x)·ln 5·sen (2·x)·dx

Aplicamos el método de sustitución sin integrar, sustituimos:

u = 2·x

Derivamos:

du = 2·dx

½·du = dx

Reemplazamos:

I = (5)cos u·ln 5·sen u·½·du

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = ½·(5)cos u·ln 5·sen u·du

Nuevamente aplicamos el método de sustitución:

v = cos u

Derivamos:

dv = -sen u·du

Reemplazamos:

I = ½·(5)v·ln 5·(-dv)

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = -½·ln 5·(5)v·dv

De tablas:

y = ax ⇒ I = ax/ln a

Integramos:

I = -½·ln 5·(5)v·dv

I = -½·ln 5·(5)v+ C
ln 5

Simplificamos:

I = -½·(5)v + C

Reemplazamos "v":

I = -½·(5)cos u + C

Reemplazamos "u":

I = -½·(5)cos (2·x) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

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