Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-a y 1-b de integración por partes - TP24

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales indefinidas por partes:

a) I = ∫x·sen x·dx

b) I = ∫arc sen x·	x	·dx
	√1 - x²

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ∫x·sen x·dx

u = x

dv = sen x·dx

v = -cos x

du = dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x·(-cos x) - ∫(-cos x)·dx

Integramos:

I = -x·cos x - (sen x) + C

I = -x·cos x + sen x + C

I = ∫arc sen x·	x	·dx
	√1 - x²

u = arc sen x

dv =	x	·dx
	√1 - x²

du =	1	·dx
	√1 - x²

dv = x·(1 - x²)^-½·dx

dv = -½·(-2)·x·(1 - x²)^-½·dx

v = -½·	(1 - x²)^{-½ + 1}
	-½ + 1

v = -½·	(1 - x²)^½
	½

v = -(1 - x²)^½

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = -arc sen x·(1 - x²)^½ - ∫[-(1 - x²)^½]·	1	·dx
	√1 - x²

I = -arc sen x·(1 - x²)^½ + ∫√1 - x²·	1	·dx
	√1 - x²

I = -arc sen x·(1 - x²)^½ + ∫dx

Integramos:

I = -arc sen x·√1 - x² + x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.