Problemas n° 1-g y 1-h de integración por partes - TP24

Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

g) I = 1·ln x·dx
(x + 1)²

h) I = x·ex·dx

Solución

Fórmulas:

u·dv = u·v - v·du

g)

I = 1·ln x·dx
(x + 1)²

u = ln x

dv =1·dx
(x + 1)²

dv = (x + 1)-2·dx

du =1·dx
x
v =(x + 1)-2 + 1
-2 + 1
v =(x + 1)-1
-1
v = -1
x + 1

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = -ln x- (-11·dx
x + 1x + 1x
I = -ln x+ 1·dx
x + 1x·(x + 1)

Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:

I = -ln x+ [A·(x + 1)+B·x]·dx
x + 1x·(x + 1)x·(x + 1)
I = -ln x+ A·x + A + B·x·dx
x + 1x·(x + 1)
I = -ln x+ (A + B)·x + A·dx
x + 1x·(x + 1)

De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto B = -1.

Reemplazamos los valores hallados:

I = -ln x+ [1·(x + 1)+-1·x]·dx
x + 1x·(x + 1)x·(x + 1)
I = -ln x+ [x + 1-x]·dx
x + 1x·(x + 1)x·(x + 1)

Simplificamos:

I = -ln x+ (1-1)·dx
x + 1xx + 1
I = -ln x+ 1·dx - 1·dx
x + 1xx + 1

Integramos:

I = -ln x+ ln |x| - ln |x + 1| + C
x + 1
I =x·ln x - ln (x + 1) + C
x + 1

h)

I = x·ex·dx

u = x

dv = ex·dx

du = dx

v = ex

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = x·ex - ex·dx

Integramos:

I = x·ex - ex + C

I = ex·(x - 1) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

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