Ejemplo, cómo integrar funciones por partes
Problemas n° 1-g y 1-h de integración por partes - TP24
Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
g) I = ∫ | 1 | ·ln x·dx |
(x + 1)² |
h) I = ∫x·ex·dx
Solución
Fórmulas:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
g)
I = ∫ | 1 | ·ln x·dx |
(x + 1)² |
u = ln x
dv = | 1 | ·dx |
(x + 1)² |
dv = (x + 1)-2·dx
du = | 1 | ·dx |
x |
v = | (x + 1)-2 + 1 |
-2 + 1 |
v = | (x + 1)-1 |
-1 |
v = - | 1 |
x + 1 |
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = - | ln x | - ∫(- | 1 | )· | 1 | ·dx |
x + 1 | x + 1 | x |
I = - | ln x | + ∫ | 1 | ·dx |
x + 1 | x·(x + 1) |
Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:
I = - | ln x | + ∫[ | A·(x + 1) | + | B·x | ]·dx |
x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
I = - | ln x | + ∫ | A·x + A + B·x | ·dx |
x + 1 | x·(x + 1) |
I = - | ln x | + ∫ | (A + B)·x + A | ·dx |
x + 1 | x·(x + 1) |
De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto B = -1.
Reemplazamos los valores hallados:
I = - | ln x | + ∫[ | 1·(x + 1) | + | -1·x | ]·dx |
x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
I = - | ln x | + ∫[ | x + 1 | - | x | ]·dx |
x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
Simplificamos:
I = - | ln x | + ∫( | 1 | - | 1 | )·dx |
x + 1 | x | x + 1 |
I = - | ln x | + ∫ | 1 | ·dx - ∫ | 1 | ·dx |
x + 1 | x | x + 1 |
Integramos:
I = - | ln x | + ln |x| - ln |x + 1| + C |
x + 1 |
I = | x | ·ln x - ln (x + 1) + C |
x + 1 |
h)
I = ∫x·ex·dx
u = x
dv = ex·dx
du = dx
v = ex
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = x·ex - ∫ex·dx
Integramos:
I = x·ex - ex + C
I = ex·(x - 1) + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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