Problemas n° 1-g y 1-h de integración por partes - TP24
Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
| g) I = ∫ | 1 | ·ln x·dx |
| (x + 1)² |
h) I = ∫x·ex·dx
Solución
Fórmulas:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
g)
| I = ∫ | 1 | ·ln x·dx |
| (x + 1)² |
u = ln x
| dv = | 1 | ·dx |
| (x + 1)² |
dv = (x + 1)-2·dx
| du = | 1 | ·dx |
| x |
| v = | (x + 1)-2 + 1 |
| -2 + 1 |
| v = | (x + 1)-1 |
| -1 |
| v = - | 1 |
| x + 1 |
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
| I = - | ln x | - ∫(- | 1 | )· | 1 | ·dx |
| x + 1 | x + 1 | x |
| I = - | ln x | + ∫ | 1 | ·dx |
| x + 1 | x·(x + 1) |
Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:
| I = - | ln x | + ∫[ | A·(x + 1) | + | B·x | ]·dx |
| x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
| I = - | ln x | + ∫ | A·x + A + B·x | ·dx |
| x + 1 | x·(x + 1) |
| I = - | ln x | + ∫ | (A + B)·x + A | ·dx |
| x + 1 | x·(x + 1) |
De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto B = -1.
Reemplazamos los valores hallados:
| I = - | ln x | + ∫[ | 1·(x + 1) | + | -1·x | ]·dx |
| x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
| I = - | ln x | + ∫[ | x + 1 | - | x | ]·dx |
| x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
Simplificamos:
| I = - | ln x | + ∫( | 1 | - | 1 | )·dx |
| x + 1 | x | x + 1 |
| I = - | ln x | + ∫ | 1 | ·dx - ∫ | 1 | ·dx |
| x + 1 | x | x + 1 |
Integramos:
| I = - | ln x | + ln |x| - ln |x + 1| + C |
| x + 1 |
| I = | x | ·ln x - ln (x + 1) + C |
| x + 1 |
h)
I = ∫x·ex·dx
u = x
dv = ex·dx
du = dx
v = ex
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = x·ex - ∫ex·dx
Integramos:
I = x·ex - ex + C
I = ex·(x - 1) + C
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo integrar funciones por partes