Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-g y 1-h de integración por partes - TP24

Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

g) I = ∫	1	·ln x·dx
	(x + 1)²

h) I = ∫x·e^x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

g)

I = ∫	1	·ln x·dx
	(x + 1)²

u = ln x

dv =	1	·dx
	(x + 1)²

dv = (x + 1)^-2·dx

du =	1	·dx
	x

v =	(x + 1)^{-2 + 1}
	-2 + 1

v =	(x + 1)^-1
	-1

v = -	1
	x + 1

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = -	ln x	- ∫(-	1	)·	1	·dx
	x + 1		x + 1		x

I = -	ln x	+ ∫	1	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:

I = -	ln x	+ ∫[	A·(x + 1)	+	B·x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫	A·x + A + B·x	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫	(A + B)·x + A	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto B = -1.

Reemplazamos los valores hallados:

I = -	ln x	+ ∫[	1·(x + 1)	+	-1·x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫[	x + 1	-	x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

Simplificamos:

I = -	ln x	+ ∫(	1	-	1	)·dx
	x + 1		x		x + 1

I = -	ln x	+ ∫	1	·dx - ∫	1	·dx
	x + 1		x		x + 1

Integramos:

I = -	ln x	+ ln \|x\| - ln \|x + 1\| + C
	x + 1

I =	x	·ln x - ln (x + 1) + C
	x + 1

h)

I = ∫x·e^x·dx

u = x

dv = e^x·dx

du = dx

v = e^x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x·e^x - ∫e^x·dx

Integramos:

I = x·e^x - e^x + C

I = e^x·(x - 1) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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