Ejemplo, cómo integrar funciones por partes y por sustitución

Problemas n° 1-e y 1-f de integración por partes - TP24

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

e) I = ∫x·ln x·dx

f) I = ∫cos³ x·dx

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ∫x·ln x·dx

u = ln x

dv = x·dx

du =	1	·dx
	x

v = ½·x²

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ½·x²·ln x - ∫½·x²·dx

I = ½·x²·ln x - ∫½·x²·	1	·dx
	x

Extraemos la constante fuera del signo de integral y simplificamos:

I = ½·x²·ln x - ½·∫x·dx

Integramos:

I = ½·x²·ln x - ½·½·x² + C

I =	x²	·(ln x - ½) + C
	2

I = ∫cos³ x·dx

I = ∫cos² x·cos x·dx

I = ∫(1 - sen² x)·cos x·dx

I = ∫(cos x - sen² x·cos x)·dx

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ∫cos x·dx - ∫sen² x·cos x·dx

La primera integral es directa:

I = sen x - ∫sen² x·cos x·dx

Para la segunda integral aplicamos el método de sustitución, sustituimos:

u = sen x

du = cos x·dx

Reemplazamos:

I = sen x - ∫u²·du

Integramos:

I = sen x -	u^{2 + 1}	+ C
	2 + 1

I = sen x -	u³	+ C
	3

Reemplazamos:

I = sen x - ⅓·sen³ x + C

I = ⅓·(sen x·cos² x + 2·sen x) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.