Problemas n° 1-e y 1-f de integración por partes - TP24

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

e) I = x·ln x·dx

f) I = cos³ x·dx

Solución

Fórmulas:

u·dv = u·v - v·du

e)

I = x·ln x·dx

u = ln x

dv = x·dx

du =1·dx
x

v = ½·x²

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = ½·x²·ln x - ½·x²·dx

I = ½·x²·ln x - ½·x²·1·dx
x

Extraemos la constante fuera del signo de integral y simplificamos:

I = ½·x²·ln x - ½·x·dx

Integramos:

I = ½·x²·ln x - ½·½·x² + C

I =·(ln x - ½) + C
2

f)

I = cos³ x·dx

I = cos² x·cos x·dx

De las identidades y relaciones trigonométricas:

I = (1 - sen² x)·cos x·dx

I = (cos x - sen² x·cos x)·dx

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = cos x·dx - sen² x·cos x·dx

La primera integral es directa:

I = sen x - sen² x·cos x·dx

Para la segunda integral aplicamos el método de sustitución, sustituimos:

u = sen x

du = cos x·dx

Reemplazamos:

I = sen x - u²·du

Integramos:

I = sen x -u2 + 1+ C
2 + 1
I = sen x -+ C
3

Reemplazamos:

I = sen x - ⅓·sen³ x + C

I = ⅓·(sen x·cos² x + 2·sen x) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por partes y por sustitución

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