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Ejemplo de suma, resta, potenciación y radicación con números reales

Problemas n° 3 de operaciones con números reales

Resolver los siguientes ejercicios

Problema n° 3

Hallar los valores de "x" que verifiquen:

a)

(x² - 1)²·(x² - 3)² = 0

Solución

Para que el resultado del producto sea "0", se debe cumplir lo siguiente:

(x² - 1)² = 0

y/ó:

(x² - 3)² = 0

En el primer caso, es visible que para valores de x = ±1 la ecuaciĆ³n se anula, pero lo demostramos. Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros:

(x² - 1)² = 0

x² - 1 = 0

Despejamos "x":

x² = 1

x = ±1

x1 = 1

x2 = -1

En el segundo caso procedemos igual:

(x² - 3)² = 0

x² - 3 = 0

Despejamos "x":

x² = 3

x = ±3

Los valores de "x" que verifican la ecuación son:

x1 = 1

x2 = -1

x3 = 3

x4 = -3

b)

x² - 1 ≤ 1

Solución

Despejamos "x":

x² ≤ 1 + 1

x² ≤ 2

Los valores de "x" que verifican la ecuación son:

x ≤ ±2

c)

-x² + 2·x - 1 ≥ -π²

Solución

El primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto::

-x² + 2·x - 1 = -(x² - 2·x + 1) = -(x - 1)²

-(x - 1)² ≥ -π²

Multiplicamos ambos miembros por "-1", observar la desigualdad:

-1·[-(x - 1)²] ≤ -1·(-π²)

(x - 1)² ≤ π²

Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros:

(x - 1)²π²

x - 1 ≤ π

Despejamos "x":

x ≤ π + 1

Los valores de "x" que verifican la ecuación son:

x ≤ π + 1

d)

x²/4 - 1 = x/2 + 1

Solución

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

(x²/4 - 1)² = (x/2 + 1)²

- 1 = (x+ 1)²
42

Sumamos las fracciones:

x² - 4= (x + 2
42
x² - 4=(x + 2)²
4

El numerador del primer miembro es una diferencia de cuadrados:

x² - 4 = x² - 2² = (x - 2)·(x + 2)

(x - 2)·(x + 2)=(x + 2)²
44

Cancelamos:

(x - 2)·(x + 2)=(x + 2)2
44

x - 2 = x + 2

Despejamos "x":

x - x = 2 + 2

0 = 4

No tiene solución.

e)

x = -1

Solución

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

(x)² = (-1)²

x = 1

Sabemos que:

x = ±x

El resultado x = 1 sólo es válido cuando la raíz toma el valor negativo.

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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