Problema n° 3 de operaciones con números reales - TP10
Resolver los siguientes ejercicios
Problema n° 3
Hallar los valores de "x" que verifiquen:
a)
(x² - 1)²·(x² - 3)² = 0
Solución
Para que el resultado del producto sea "0", se debe cumplir lo siguiente:
(x² - 1)² = 0
y/ó:
(x² - 3)² = 0
En el primer caso, es visible que para valores de x = ±1 la ecuación se anula, pero lo demostramos. Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros:
√(x² - 1)² = √0
x² - 1 = 0
Despejamos "x":
x² = 1
x = ±√1
x1 = 1
x2 = -1
En el segundo caso procedemos igual:
√(x² - 3)² = √0
x² - 3 = 0
Despejamos "x":
x² = 3
x = ±√3
Los valores de "x" que verifican la ecuación son:
x1 = 1
x2 = -1
x3 = √3
x4 = -√3
b)
x² - 1 ≤ 1
Solución
Despejamos "x":
x² ≤ 1 + 1
x² ≤ 2
Los valores de "x" que verifican la ecuación son:
x ≤ ±√2
c)
-x² + 2·x - 1 ≥ -π²
Solución
El primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto::
-x² + 2·x - 1 = -(x² - 2·x + 1) = -(x - 1)²
-(x - 1)² ≥ -π²
Multiplicamos ambos miembros por "-1", observar la desigualdad:
-1·[-(x - 1)²] ≤ -1·(-π²)
(x - 1)² ≤ π²
Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros:
√(x - 1)² ≤ √π²
x - 1 ≤ π
Despejamos "x":
x ≤ π + 1
Los valores de "x" que verifican la ecuación son:
x ≤ π + 1
d)
√x²/4 - 1 = x/2 + 1
Solución
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
(√x²/4 - 1)² = (x/2 + 1)²
| x² | - 1 = ( | x | + 1)² |
| 4 | 2 |
Sumamos las fracciones:
| x² - 4 | = ( | x + 2 | )² |
| 4 | 2 |
| x² - 4 | = | (x + 2)² |
| 4 | 2² |
El numerador del primer miembro es una diferencia de cuadrados:
x² - 4 = x² - 2² = (x - 2)·(x + 2)
| (x - 2)·(x + 2) | = | (x + 2)² |
| 4 | 4 |
Cancelamos:
| (x - 2)·(x + 2) | = | (x + 2)2 |
| 4 | 4 |
x - 2 = x + 2
Despejamos "x":
x - x = 2 + 2
0 = 4
No tiene solución.
e)
√x = -1
Solución
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
(√x)² = (-1)²
x = 1
Sabemos que:
√x = ±√x
El resultado x = 1 sólo es válido cuando la raíz toma el valor negativo.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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