Problema n° 3 de operaciones con números reales - TP11
Resolver los siguientes ejercicios
Problema n° 3
Efectuar las siguientes operaciones:
a)
9½·9¼ =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
1 | + | 1 | = | 2 + 1 | = | 3 |
2 | 4 | 4 | 4 |
9½·9¼ = 9¾ = (3²)¾ = 32·¾ = 33/2
9½·9¼ = √3³ = √3·3² = 3·√3
b)
25½·25⅙ =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
1 | + | 1 | = | 3 + 1 | = | 4 | = | 2 |
2 | 6 | 6 | 6 | 3 |
25½·25⅙ = 25⅔
Como 25 = 5²:
= 25⅔ = (5²)⅔ =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= (5²)⅔ = 52·⅔ = 54/3 = ∛54 =
Extraemos de la raíz 5³:
= ∛54 = ∛5³·5 = 5·∛5
c)
0,25½÷0,25¼ =
Las bases son iguales, en la división los exponentes se restan:
1 | - | 1 | = | 2 - 1 | = | 1 |
2 | 4 | 4 | 2 |
0,25½÷0,25¼ = 0,25½ =
Expresamos la base como número fraccionario:
0,25½ = ( | 25 | )½ = ( | 1 | )½ = ( | 1 | )½ = |
100 | 4 | 2² |
= ( | 1 | )½ = | 1½ | = | 1 | = | 1 |
2² | (2²)½ | 22·½ | 2 |
d)
a½÷a⅔ =
Las bases son iguales, en la división los exponentes se restan:
1 | - | 2 | = | 1·3 - 2·2 | = | 3 - 4 | = | -1 |
2 | 3 | 6 | 6 | 6 |
a½÷a⅔ = a-⅙
= | 1 | = | 1 | = |
a⅙ | 6√a |
Racionalizamos el denominador:
= | 1 | · | 6√a5 | = | 6√a5 | = |
6√a | 6√a5 | 6√a·6√a5 |
= | 6√a5 | = | 6√a5 | = | 6√a5 |
6√a·6√a5 | 6√a6 | a |
e)
x¼·x⅙·x⅔ =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
1 | + | 1 | + | 2 | = | 3 + 2 + 2·4 | = | 5 + 8 | = | 13 |
4 | 6 | 3 | 12 | 12 | 12 |
x¼·x⅙·x⅔ = x13/12 = x12/12·x1/12 = x·12√x
f)
b²÷b-½ =
Las bases son iguales, en la división los exponentes se restan:
2 - (- | 1 | ) = | 2·2 - (-1) | = | 4 + 1 | = | 5 |
2 | 2 | 2 | 2 |
b²÷b-½ = b5/2 = √b5 = √b4·b = b²·√b
g)
√a·a-½ =
Expresamos la raíz como potencia:
= √a·a-½ = a½·a-½ =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
1 | - | 1 | = 0 |
2 | 2 |
= a½·a-½ = a0 = 1
h)
a-2·b½÷(a½·b⅔) =
Restamos los exponentes donde las bases son iguales:
a-2·b½÷(a½·b⅔) = a-2 - ½·b½ - ⅔ =
Para "a":
-2 - | 1 | = | -2·2 - 1 | = | -4 - 1 | = | -5 |
2 | 2 | 2 | 2 |
Para "b":
1 | - | 2 | = | 3 - 2·2 | = | 3 - 4 | = | -1 |
2 | 3 | 6 | 6 | 6 |
a-2·b½÷(a½·b⅔) = a-2 - ½·b½ - ⅔ = a-5/2·b-1/6 =
= a-5/2·b-1/6 = | 1 | = | 1 | = |
a5/2·b1/6 | √a5·6√b |
= | 1 | = | 1 | = | 1 |
√a5·6√b | √a·a4·6√b | a²·√a·6√b |
Racionalizamos el denominador:
= | 1 | · | √a·6√b5 | = |
a²·√a·6√b | √a·6√b5 |
= | √a·6√b5 | = |
a²·√a·6√b·√a·6√b5 |
= | √a·6√b5 | = |
a²·√a·a·6√b·b5 |
= | √a·6√b5 | = | √a·6√b5 | = |
a²·√a²·6√b6 | a²·a·b |
a-2·b½÷(a½·b⅔) = | √a·6√b5 |
a³·b |
i)
a½·√a3/2 =
Expresamos la raíz como potencia:
= a½·(a3/2)1/2 =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= a½·a3/2·1/2 = a½·a¾ =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
1 | + | 3 | = | 2 + 3 | = | 5 |
2 | 4 | 4 | 4 |
= a½·a¾ = a5/4 = ∜a5 = ∜a4·a = a·∜a
j)
a5/3·∛a-4 =
Expresamos la raíz como potencia:
= a5/3·a-4/3 =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
5 | - | 4 | = | 1 |
3 | 3 | 3 |
= a5/3·a-4/3 = a⅓ = ∛a
k)
a-⅖ + b-⅖ =
1 | + | 1 | = |
a⅖ | b⅖ |
Sumamos las fracciones:
1 | + | 1 | = | b⅖ + a⅖ | = |
a⅖ | b⅖ | a⅖·b⅖ |
Expresamos la potencia como raíz:
= | ∛b² + ∛a² | = |
∛a²·∛b² |
Racionalizamos el denominador:
= | ∛b² + ∛a² | · | ∛a·∛b | = |
∛a²·∛b² | ∛a·∛b |
= | (∛b² + ∛a²)·∛a·∛b | = |
∛a²·∛b²·∛a·∛b |
= | (∛b² + ∛a²)·∛a·∛b | = |
∛a³·∛b³ |
a-⅖ + b-⅖ = | (∛b² + ∛a²)·∛a·∛b |
a·b |
l)
m + m-1 | = |
m - m-1 |
= | m + | 1 | = |
m | |||
m - | 1 | ||
m |
Sumamos las fracciones:
= | m·m + 1 | = | m² + 1 | = |
m | m | |||
m·m - 1 | m² - 1 | |||
m | m |
= | m² + 1 | · | m | = |
m | m² - 1 |
Simplificamos:
= | m² + 1 |
m² - 1 |
m + m-1 | = | m² + 1 |
m - m-1 | m² - 1 |
m)
(x½ - y½)·(x½ + y½) =
Se trata de una diferencia de cuadrados, resolvemos:
= (x½)² - (y½)² =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= x½·2 - y½·2 = x¹ - y¹
(x½ - y½)·(x½ + y½) = x - y
n)
a⅚·5√a-⅔ =
Expresamos la raíz como potencia:
= a⅚·(a-⅔)⅕ =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= a⅚·a-2/15 =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
5 | - | 2 | = | 5·5 - 2·2 | = | 25 - 4 | = | 21 | = | 7 |
6 | 15 | 30 | 30 | 30 | 10 |
= a⅚·a-2/15 = a7/10
a⅚·5√a-⅔ = 10√a7
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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