Ejemplo de operaciones de potenciación y radicación con números reales

Problema n° 3 de operaciones con números reales - TP11

Resolver los siguientes ejercicios

Problema n° 3

Efectuar las siguientes operaciones:

9^½·9^¼ =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1	+	1	=	2 + 1	=	3
2	+	4	=	4	=	4

9^½·9^¼ = 9^¾ = (3²)^¾ = 3^2·¾ = 3^3/2

9^½·9^¼ = √3³ = √3·3² = 3·√3

25^½·25^⅙ =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1	+	1	=	3 + 1	=	4	=	2
2	+	6	=	6	=	6	=	3

25^½·25^⅙ = 25^⅔

Como 25 = 5²:

= 25^⅔ = (5²)^⅔ =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= (5²)^⅔ = 5^2·⅔ = 5^4/3 = ∛5⁴ =

Extraemos de la raíz 5³:

= ∛5⁴ = ∛5³·5 = 5·∛5

0,25^½÷0,25^¼ =

Las bases son iguales, en la división los exponentes se restan:

1	-	1	=	2 - 1	=	1
2	-	4	=	4	=	2

0,25^½÷0,25^¼ = 0,25^½ =

Expresamos la base como número fraccionario:

0,25^½ = (	25	)^½ = (	1	)^½ = (	1	)^½ =
	100		4		2²

= (	1	)^½ =	1^½	=	1	=	1
	2²		(2²)^½		2^2·½		2

a^½÷a^⅔ =

Las bases son iguales, en la división los exponentes se restan:

1	-	2	=	1·3 - 2·2	=	3 - 4	=	-1
2	-	3	=	6	=	6	=	6

a^½÷a^⅔ = a^-⅙

=	1	=	1	=
	a^⅙		⁶√a

Racionalizamos el denominador:

=	1	·	⁶√a⁵	=	⁶√a⁵	=
	⁶√a		⁶√a⁵		⁶√a·⁶√a⁵

=	⁶√a⁵	=	⁶√a⁵	=	⁶√a⁵
	⁶√a·⁶√a⁵		⁶√a⁶		a

x^¼·x^⅙·x^⅔ =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1	+	1	+	2	=	3 + 2 + 2·4	=	5 + 8	=	13
4	+	6	+	3	=	12	=	12	=	12

x^¼·x^⅙·x^⅔ = x^13/12 = x^12/12·x^1/12 = x·¹²√x

b²÷b^-½ =

Las bases son iguales, en la división los exponentes se restan:

2 - (-	1	) =	2·2 - (-1)	=	4 + 1	=	5
	2		2		2		2

b²÷b^-½ = b^5/2 = √b⁵ = √b⁴·b = b²·√b

√a·a^-½ =

Expresamos la raíz como potencia:

= √a·a^-½ = a^½·a^-½ =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1	-	1	= 0
2		2

= a^½·a^-½ = a⁰ = 1

a^-2·b^½÷(a^½·b^⅔) =

Restamos los exponentes donde las bases son iguales:

a^-2·b^½÷(a^½·b^⅔) = a^{-2 - ½}·b^{½ - ⅔} =

Para "a":

-2 -	1	=	-2·2 - 1	=	-4 - 1	=	-5
	2		2		2		2

Para "b":

1	-	2	=	3 - 2·2	=	3 - 4	=	-1
2	-	3	=	6	=	6	=	6

a^-2·b^½÷(a^½·b^⅔) = a^{-2 - ½}·b^{½ - ⅔} = a^-5/2·b^-1/6 =

= a^-5/2·b^-1/6 =	1	=	1	=
	a^5/2·b^1/6		√a⁵·⁶√b

=	1	=	1	=	1
	√a⁵·⁶√b		√a·a⁴·⁶√b		a²·√a·⁶√b

Racionalizamos el denominador:

=	1	·	√a·⁶√b⁵	=
	a²·√a·⁶√b		√a·⁶√b⁵

=	√a·⁶√b⁵	=
	a²·√a·⁶√b·√a·⁶√b⁵

=	√a·⁶√b⁵	=
	a²·√a·a·⁶√b·b⁵

=	√a·⁶√b⁵	=	√a·⁶√b⁵	=
	a²·√a²·⁶√b⁶		a²·a·b

a^-2·b^½÷(a^½·b^⅔) =	√a·⁶√b⁵
	a³·b

a^½·√a^3/2 =

Expresamos la raíz como potencia:

= a^½·(a^3/2)^1/2 =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= a^½·a^3/2·1/2 = a^½·a^¾ =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1	+	3	=	2 + 3	=	5
2	+	4	=	4	=	4

= a^½·a^¾ = a^5/4 = ∜a⁵ = ∜a⁴·a = a·∜a

a^5/3·∛a^-4 =

Expresamos la raíz como potencia:

= a^5/3·a^-4/3 =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

5	-	4	=	1
3	-	3	=	3

= a^5/3·a^-4/3 = a^⅓ = ∛a

a^-⅖ + b^-⅖ =

1	+	1	=
a^⅖		b^⅖

Sumamos las fracciones:

1	+	1	=	b^⅖ + a^⅖	=
a^⅖		b^⅖		a^⅖·b^⅖

Expresamos la potencia como raíz:

=	∛b² + ∛a²	=
	∛a²·∛b²

Racionalizamos el denominador:

=	∛b² + ∛a²	·	∛a·∛b	=
	∛a²·∛b²		∛a·∛b

=	(∛b² + ∛a²)·∛a·∛b	=
	∛a²·∛b²·∛a·∛b

=	(∛b² + ∛a²)·∛a·∛b	=
	∛a³·∛b³

a^-⅖ + b^-⅖ =	(∛b² + ∛a²)·∛a·∛b
	a·b

m + m^-1	=
m - m^-1

=	m +	1	=
		m
	m -	1
		m

Sumamos las fracciones:

=	m·m + 1	=	m² + 1	=
	m		m
	m·m - 1		m² - 1
	m		m

=	m² + 1	·	m	=
	m		m² - 1

Simplificamos:

=	m² + 1
	m² - 1

m + m^-1	=	m² + 1
m - m^-1	=	m² - 1

(x^½ - y^½)·(x^½ + y^½) =

Se trata de una diferencia de cuadrados, resolvemos:

= (x^½)² - (y^½)² =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= x^½·2 - y^½·2 = x¹ - y¹

(x^½ - y^½)·(x^½ + y^½) = x - y

a^⅚·⁵√a^-⅔ =

Expresamos la raíz como potencia:

= a^⅚·(a^-⅔)^⅕ =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= a^⅚·a^-2/15 =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

5	-	2	=	5·5 - 2·2	=	25 - 4	=	21	=	7
6	-	15	=	30	=	30	=	30	=	10

= a^⅚·a^-2/15 = a^7/10

a^⅚·⁵√a^-⅔ = ¹⁰√a⁷

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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