Problema n° 5 de división de polinomios por Ruffini - TP02
Enunciado del ejercicio n° 5
Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:
a)
P(x) = ½·x4 + x² - 1; Q(x) = x - 2
Solución
| ½ | 0 | 1 | 0 | -1 | |
| 2 | 1 | 2 | 6 | 12 | |
| ½ | 1 | 3 | 6 | 11 |
C(x) = ½·x³ + x² + 3·x + 6
R = 11
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (x - 2)·(½·x³ + x² + 3·x + 6) + 11
b)
P(x) = -x5 + x³; Q(x) = x + ½
Solución
| -1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| -½ | ½ | -¼ | -⅜ | 3/16 | -3/32 | |
| -1 | ½ | ¾ | -⅜ | 3/16 | -3/32 |
C(x) = -x4 + ¾·x² - ⅜·x + 3/16
R = -3/32
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (x + ½)·(-x4 + ¾·x² - ⅜·x + 3/16) - 3/32
c)
P(x) = -x + 3 - x³ - x5; Q(x) = x - 2
Solución
Ordenamos el polinomio por el grado:
P(x) = -x5 - x³ - x + 3
| -1 | 0 | -1 | 0 | -1 | 3 | |
| 2 | -2 | -4 | -10 | -20 | -42 | |
| -1 | -2 | -5 | -10 | -21 | -39 |
C(x) = -x4 - 2·x³ - 5·x² - 10·x - 21
R = -39
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (x - 2)·(-x4 - 2·x³ - 5·x² - 10·x - 21) - 39
d)
P(x) = a·(x³ + a²); Q(x) = x - a
Solución
En P(x) aplicamos distributiva del producto con respecto a la suma:
P(x) = a·x³ + a·a²
P(x) = a·x³ + a³
| a | 0 | 0 | a³ | |
| a | a² | a³ | a4 | |
| a | a² | a³ | a4 + a³ |
C(x) = a·x² + a²·x + a³
R = a4 + a³
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (x - a)·(a·x² + a²·x + a³) + a4 + a³
e)
P(x) = (x - 2)³ - 3·(x - 2); Q(x) = 3·x - (1 + 2·x)
Solución
Desarrollamos Q(x):
Q(x) = 3·x - (1 + 2·x)
Q(x) = 3·x - 1 - 2·x
Q(x) = x - 1
Desarrollamos P(x):
P(x) = (x - 2)³ - 3·(x - 2)
P(x) = x³ - 3·x²·2 + 3·x·2² - 2³ - 3·x + 3·2
P(x) = x³ - 6·x² + 12·x - 8 - 3·x + 6
P(x) = x³ - 6·x² + 9·x - 2
| 1 | -6 | 9 | -2 | |
| 1 | 1 | -5 | 4 | |
| 1 | -5 | 4 | 2 |
C(x) = x² - 5·x + 4
R = 2
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (x - 1)·(x² - 5·x + 4) + 2
f)
P(x) = 2·x³ + 3·x - 1; Q(x) = 2·x - 1
Solución
Q(x) = x - ½
| 2 | 0 | 1 | -1 | |
| ½ | 1 | ½ | ¾ | |
| 2 | 1 | 3/2 | -¼ |
C(x) = 2·x² + x + 3/2
R = -¼
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (2·x - 1)·(2·x² + x + 3/2) - ¼
g)
P(x) = x4 - x; Q(x) = ¾·x - ¼
Solución
| Q(x) = | ¾·x | - | ¼ |
| ¾ | ¾ |
Q(x) = x - ⅓
| 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | |
| ⅓ | ⅓ | ⅑ | 1/27 | -26/81 | |
| 1 | ⅓ | ⅑ | -26/27 | -26/81 |
C(x) = x³ + ⅓·x² + ⅙·x - 26/27
R = -26/81
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (¾·x - ¼)·(x³ + ⅓·x² + ⅙·x - 26/27) - 26/81
h)
P(x) = 2·x³; Q(x) = -3·x + 2
Solución
| Q(x) = | -3·x | + | 2 |
| -3 | -3 |
Q(x) = x - ⅔
| 2 | 0 | 0 | 0 | |
| ⅔ | 4/3 | 8/9 | 16/27 | |
| 2 | 4/3 | 8/9 | 16/27 |
C(x) = 2·x² + (4/3)·x + 8/9
R = 16/27
P(x) = Q(x)·C(x) + R
Expresamos el resultado:
P(x) = (-3·x + 2)·[2·x² + (4/3)·x + 8/9] + 16/27
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo dividir polinomios por Ruffini