Guía nº 2 de ejercicios resueltos de polinomios
Resolver los siguientes ejercicios
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Problema nº 1
Calcular el valor numérico de P(x) para los siguientes valores:
a) x = 1
b) x = -1
c) x = ⅔
d) x = -3
P(x) = ½·x - 3·x + 4·x² - 5·x³ - ⅔·x⁴ + 5/4
• Respuesta:
a) P(1) = -35/12;
b) P(-1) = 145/12;
c) P(⅔) = -245/972;
d) P(-3) = 503/4
Problema nº 2
Dados los polinomios:
P(x) = 4·x² - x + 2
Q(x) = x³ + x - 1
R(x) = 2·x - 1
Hallar:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) + R(x)
c) Q(x)·R(x)
d) P(x)·Q(x)
e) P(x):R(x)
f) Q(x):R(x)
g) El resto de la división de P(x) por x - 1
h) P(-1)
i) P(-2) + [Q(-2)]²
j) El grado de [P(x)]⁴
• Respuesta:
a) P(x) + Q(x) = x³ + 4·x² + 1;
b) P(x) + R(x) = 4·x² + x + 1;
c) Q(x)·R(x) = 2·x⁴ - x³ + 2·x² - 3·x + 1;
d) P(x)·Q(x) = 4·x⁵ - x⁴ + 6·x³ - 5·x² + 3·x - 2;
Problema nº 3
Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:
a) P(x) = 3·x³ + 2·x² - x - ½; Q(x) = x + 2
b) P(x) = x⁷ + x⁵ - x³ - x; Q(x) = x - 1
c) P(x) = 64·x⁶ + 2⁶; Q(x) = x - 1
• Respuesta:
a) P(x) = (x + 2)·(3·x² - 4·x + 7) - 29/2;
b) P(x) = (x - 1)·(x⁶ + x⁵ + 2·x⁴ + 2·x³ + x² + x);
c) P(x) = (x - 1)·64·(x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x) + 128
Problema nº 4
Verificar los resultados de los ejercicios anteriores por el Teorema del Resto.
• Respuesta:
a) P(-2) = -29/2;
b) P(1) = 0;
c) P(1) = 128
Problema nº 5
Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:
a) P(x) = ½·x⁴ + x² - 1; Q(x) = x - 2
b) P(x) = -x⁵ + x³; Q(x) = x + ½
c) P(x) = -x + 3 - x³ - x⁵; Q(x) = x - 2
d) P(x) = a·(x³ + a²); Q(x) = x - a
e) P(x) = (x - 2)³ - 3·(x - 2); Q(x) = 3·x - (1 + 2·x)
f) P(x) = 2·x³ + 3·x - 1; Q(x) = 2·x - 1
g) P(x) = x⁴ - x; Q(x) = ¾·x - ¼
h) P(x) = 2·x³; Q(x) = -3·x + 2
• Respuesta:
a) P(x) = (x - 2)·(½·x³ + x² + 3·x + 6) + 11;
b) P(x) = (x + ½)·(-x⁴ + ¾·x² - ⅜·x + 3/16) - 3/32;
c) P(x) = (x - 2)·(-x⁴ - 2·x³ - 5·x² - 10·x - 21) - 39;
d) P(x) = (x - a)·(a·x² + a²·x + a³) + a⁴ + a³;
e) P(x) = (x - 1)·(x² - 5·x + 4) + 2;
f) P(x) = (2·x - 1)·(2·x² + x + 3/2) - ¼;
g) P(x) = (¾·x - ¼)·(x³ + ⅓·x² + ⅙·x - 26/27) - 26/81;
h) P(x) = (-3·x + 2)·[2·x² + (4/3)·x + 8/9] + 16/27
Problema nº 6
Determinar "k", sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.
P(x) = 3·x³ - k·x² + 2; Q(x) = x + 2
• Respuesta: P(x) = 3·x³ + 13·x² + 2
Problema nº 7
Decir si:
a) P(x) = 2·x² - x - 1 es divisible por Q(x) = x - 1
b) P(x) = x⁴ - a²·x² + x + a es divisible por Q(x) = x + a
• Respuesta:
a) Es divisible;
b) Es divisible
Problema nº 8
Calcular "k" para que:
a) P(x) = x⁸ - k·x⁴ + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1
b) P(x) = (-k·x + 4)² sea divisible por Q(x) = x - k
c) P(x) = x⁴ - 3·x³ + k·x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2
d) P(x) = x⁴ - 2·x² + 1 sea divisible por Q(x) = x - k
• Respuesta:
a) k = 2;
b) k1,2 = ±2;
c) k = 39/2;
d) k1,2 = ±1
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Problemas resueltos:
Cómo dividir polinomios por Ruffini