Problema n° 8 de polinomios - TP02
Enunciado del ejercicio n° 8
Calcular "k" para que:
a) P(x) = x8 - k·x4 + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1
b) P(x) = (-k·x + 4)² sea divisible por Q(x) = x - k
c) P(x) = x4 - 3·x³ + k·x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2
d) P(x) = x4 - 2·x² + 1 sea divisible por Q(x) = x - k
Solución
Para que P(x) sea divisible por Q(x) el resto tiene que ser el polinomio nulo "R = 0".
a)
P(x) = x8 - k·x4 + 1 ∧ Q(x) = x + 1
Aplicamos el Teorema del Resto para x = -1:
P(-1) = (-1)8 - k·(-1)4 + 1
P(-1) = 1 - k·1 + 1
P(-1) = 1 - k + 1
Para que sea divisible R tiene que ser nulo, igualamos a cero y despejamos k:
2 - k = 0
k = 2
P(x) = x8 - 2·x4 + 1 ∧ Q(x) = x + 1
b)
P(x) = (-k·x + 4)² ∧ Q(x) = x - k
Aplicamos el Teorema del Resto para x = k:
P(k) = (-k·k + 4)²
P(k) = (-k² + 2²)²
R debe ser cero, igualamos a cero:
(-k² + 2²)² = 0
2² - k² = 0
2² = k²
k1,2 = ±2
P(x1) = (-2·x + 4)² ∧ Q(x1) = x - 2
P(x2) = (2·x + 4)² ∧ Q(x2) = x + 2
c)
P(x) = x4 - 3·x³ + k·x - 1 ∧ Q(x) = x + 2
Aplicamos el Teorema del Resto para x = -2:
P(-2) = (-2)4 - 3·(-2)³ + k·(-2) - 1
P(-2) = 16 - 3·(-8) - k·2 - 1
P(-2) = 15 + 24 - 2·k
P(-2) = 39 - 2·k
Para que sea divisible R tiene que ser nulo, igualamos a cero y despejamos k:
39 - 2·k = 0
-2·k = -39
k = 39/2
P(x) = x4 - 3·x³ + (39/2)·x - 1 ∧ Q(x) = x + 2
d)
P(x) = x4 - 2·x² + 1 ∧ Q(x) = x - k
Aplicamos el Teorema del Resto para x = k:
P(k) = (k)4 - 2·(k)² + 1
P(k) = k4 - 2·k² + 1
Es un trinomio cuadrado perfecto, lo factorizamos:
P(k) = (k² - 1)²
Para que sea divisible R tiene que ser nulo, igualamos a cero y despejamos k:
(k² - 1)² = 0
k² - 1 = 0
k² = 1
k = √1
k1,2 = ±1
P(x) = x4 - 2·x² + 1 ∧ Q(x1) = x - 1
P(x) = x4 - 2·x² + 1 ∧ Q(x2) = x + 1
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo aplicar el Teorema del Resto