Problema n° 8 de polinomios - TP02

Enunciado del ejercicio n° 8

Calcular "k" para que:

a) P(x) = x⁸ - k·x⁴ + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1

b) P(x) = (-k·x + 4)² sea divisible por Q(x) = x - k

c) P(x) = x⁴ - 3·x³ + k·x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2

d) P(x) = x⁴ - 2·x² + 1 sea divisible por Q(x) = x - k

Solución

Para que P(x) sea divisible por Q(x) el resto tiene que ser el polinomio nulo "R = 0".

P(x) = x⁸ - k·x⁴ + 1 ∧ Q(x) = x + 1

Aplicamos el Teorema del Resto para x = -1:

P(-1) = (-1)⁸ - k·(-1)⁴ + 1

P(-1) = 1 - k·1 + 1

P(-1) = 1 - k + 1

Para que sea divisible R tiene que ser nulo, igualamos a cero y despejamos k:

2 - k = 0

k = 2

P(x) = x⁸ - 2·x⁴ + 1 ∧ Q(x) = x + 1

P(x) = (-k·x + 4)² ∧ Q(x) = x - k

Aplicamos el Teorema del Resto para x = k:

P(k) = (-k·k + 4)²

P(k) = (-k² + 2²)²

R debe ser cero, igualamos a cero:

(-k² + 2²)² = 0

2² - k² = 0

2² = k²

k_1,2 = ±2

P(x₁) = (-2·x + 4)² ∧ Q(x₁) = x - 2

P(x₂) = (2·x + 4)² ∧ Q(x₂) = x + 2

P(x) = x⁴ - 3·x³ + k·x - 1 ∧ Q(x) = x + 2

Aplicamos el Teorema del Resto para x = -2:

P(-2) = (-2)⁴ - 3·(-2)³ + k·(-2) - 1

P(-2) = 16 - 3·(-8) - k·2 - 1

P(-2) = 15 + 24 - 2·k

P(-2) = 39 - 2·k

Para que sea divisible R tiene que ser nulo, igualamos a cero y despejamos k:

39 - 2·k = 0

-2·k = -39

k = 39/2

P(x) = x⁴ - 3·x³ + (39/2)·x - 1 ∧ Q(x) = x + 2

P(x) = x⁴ - 2·x² + 1 ∧ Q(x) = x - k

Aplicamos el Teorema del Resto para x = k:

P(k) = (k)⁴ - 2·(k)² + 1

P(k) = k⁴ - 2·k² + 1

Es un trinomio cuadrado perfecto, lo factorizamos:

P(k) = (k² - 1)²

Para que sea divisible R tiene que ser nulo, igualamos a cero y despejamos k:

(k² - 1)² = 0

k² - 1 = 0

k² = 1

k = √1

k_1,2 = ±1

P(x) = x⁴ - 2·x² + 1 ∧ Q(x₁) = x - 1

P(x) = x⁴ - 2·x² + 1 ∧ Q(x₂) = x + 1

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina