Problema n° 4 de operaciones con polinomios - TP03
Enunciado del ejercicio n° 4
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = x² - 1
Q(x) = x + 1
R(x) = (x - 1)²
S(x) = (x + 1)²
Hallar:
a) P(x)/Q(x) =
b) P(x) + R(x)/S(x) =
c) P(x)/R(x) =
d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =
e) [Q(x)² - R(x)]:P(x) =
f) [P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =
Solución
a)
P(x)/Q(x) =
P(x) = x² - 1
Q(x) = x + 1
| P(x)/Q(x) = | x² - 1 |
| x + 1 |
El numerador o dividendo es una diferencia de cuadrados, la factorizamos:
| P(x)/Q(x) = | (x - 1)·(x + 1) |
| x + 1 |
Simplificamos y obtenemos el resultado de la operación:
P(x)/Q(x) = x - 1
b)
P(x) + R(x)/S(x) =
P(x) = x² - 1
R(x) = (x - 1)²
S(x) = (x + 1)²
| P(x) + | R(x) | = x² - 1 + | (x - 1)² |
| S(x) | (x + 1)² |
Sumamos las fracciones:
| P(x) + | R(x) | = | (x² - 1)·(x + 1)² + (x - 1)² |
| S(x) | (x + 1)² |
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
| P(x) + | R(x) | = | (x - 1)·(x + 1)·(x + 1)² + (x - 1)² |
| S(x) | (x + 1)² |
Simplificamos:
| P(x) + | R(x) | = | (x - 1)·(x + 1)² + (x - 1)² |
| S(x) | x + 1 |
Desarrollamos los cuadrados de los binomios:
| P(x) + | R(x) | = | (x - 1)·(x² + 2·x·1 + 1²) + x² - 2·x·1 + 1² |
| S(x) | x + 1 |
Aplicamos distributiva:
| P(x) + | R(x) | = | x²·x + 2·x·x + 1·x - x²·1 - 2·x·1 - 1·1 + x² - 2·x + 1 |
| S(x) | x + 1 |
| P(x) + | R(x) | = | x³ + 2·x² + x - x² - 2·x - 1 + x² - 2·x + 1 |
| S(x) | x + 1 |
| P(x) + | R(x) | = | x³ + 2·x² - x² + x² + x - 2·x - 2·x - 1 + 1 |
| S(x) | x + 1 |
| P(x) + | R(x) | = | x³ + 2·x² - 3·x |
| S(x) | x + 1 |
Dividimos por Ruffini:
| 1 | 2 | -1 | -3 | |
| -1 | -1 | -1 | 2 | |
| 1 | 1 | -2 | -1 | |
Expresamos el resultado:
| P(x) + | R(x) | = (x + 1)·(x² + x - 2) - 1 |
| S(x) |
c)
P(x)/R(x) =
P(x) = x² - 1
R(x) = (x - 1)²
| P(x) | = | x² - 1 |
| R(x) | (x - 1)² |
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
| P(x) | = | (x - 1)·(x + 1) |
| R(x) | (x - 1)² |
Simplificamos y obtenemos el resultado de la operación:
| P(x) | = | x + 1 |
| R(x) | x - 1 |
d)
[P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =
P(x) = x² - 1
Q(x) = x + 1
R(x) = (x - 1)²
S(x) = (x + 1)²
| P(x) - Q(x) | = | x² - 1 - (x + 1) |
| R(x) + S(x) | (x - 1)² + (x + 1)² |
Desarrollamos los binomios al cuadrado en el denominador:
| P(x) - Q(x) | = | x² - 1 - x - 1 |
| R(x) + S(x) | x² - 2·x·1 + 1² + x² + 2·x·1 + 1² |
| P(x) - Q(x) | = | x² - x - 2 |
| R(x) + S(x) | x² - 2·x + 1 + x² + 2·x + 1 |
| P(x) - Q(x) | = | x² - x - 2 |
| R(x) + S(x) | x² + x² - 2·x + 2·x + 1 + 1 |
| P(x) - Q(x) | = | x² - x - 2 |
| R(x) + S(x) | 2·x² + 2 |
Expresamos el resultado:
| P(x) - Q(x) | = | (x - 2)·(x + 1) |
| R(x) + S(x) | 2·(x² + 1) |
e)
[Q(x)² - R(x)]:P(x) =
P(x) = x² - 1
Q(x) = x + 1
R(x) = (x - 1)²
| Q(x)² - R(x) | = | (x + 1)² - (x - 1)² |
| P(x) | x² - 1 |
El numerador se puede tomar como una diferencia de cuadrados, lo factorizamos:
| Q(x)² - R(x) | = | [(x + 1) - (x - 1)]·[(x + 1) + (x - 1)] |
| P(x) | x² - 1 |
| Q(x)² - R(x) | = | (x + 1 - x + 1)·(x + 1 + x - 1) |
| P(x) | x² - 1 |
| Q(x)² - R(x) | = | 2·2·x |
| P(x) | x² - 1 |
Expresamos el resultado:
| Q(x)² - R(x) | = | 4·x |
| P(x) | x² - 1 |
f)
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =
P(x) = x² - 1
Q(x) = x + 1
R(x) = (x - 1)²
S(x) = (x + 1)²
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = [x² - 1 - (x + 1)]² - [(x - 1)² - (x + 1)²]²
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x² - 1 - x - 1)² - [x² - 2·x·1 + 1² - (x² + 2·x·1 + 1²)]
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x² - x - 2)² - [x² - 2·x + 1 - (x² + 2·x + 1)]
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x²·x² - x·x² - 2·x² - x²·x + x·x + 2·x - x²·2 + x·2 + 2·2) - (x² - 2·x + 1 - x² - 2·x - 1)
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - x³ - 2·x² - x³ + x² + 2·x - 2·x² + 2·x + 4 - (-4·x)
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - 2·x³ - 3·x² + 4·x + 4 + 4·x
Expresamos el resultado:
[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - 2·x³ - 3·x² + 8·x + 4
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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