Fisicanet ®

Ejemplo, cómo sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios

Problema n° 4 de operaciones con polinomios

Enunciado del ejercicio n° 4

Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

Hallar:

a) P(x)/Q(x) =

b) P(x) + R(x)/S(x) =

c) P(x)/R(x) =

d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =

e) [Q(x)² - R(x)]:P(x) =

f) [P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =

Solución

a)

P(x)/Q(x) =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

P(x)/Q(x) =x² - 1
x + 1

El numerador o dividendo es una diferencia de cuadrados, la factorizamos:

P(x)/Q(x) =(x - 1)·(x + 1)
x + 1

Simplificamos y obtenemos el resultado de la operación:

P(x)/Q(x) = x - 1

b)

P(x) + R(x)/S(x) =

P(x) = x² - 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

P(x) +R(x)= x² - 1 +(x - 1)²
S(x)(x + 1)²

Sumamos las fracciones:

P(x) +R(x)=(x² - 1)·(x + 1)² + (x - 1)²
S(x)(x + 1)²

Factorizamos la diferencia de cuadrados:

P(x) +R(x)=(x - 1)·(x + 1)·(x + 1)² + (x - 1)²
S(x)(x + 1)²

Simplificamos:

P(x) +R(x)=(x - 1)·(x + 1)² + (x - 1)²
S(x)x + 1

Desarrollamos los cuadrados de los binomios:

P(x) +R(x)=(x - 1)·(x² + 2·x·1 + 1²) + x² - 2·x·1 + 1²
S(x)x + 1

Aplicamos distributiva:

P(x) +R(x)=x²·x + 2·x·x + 1·x - x²·1 - 2·x·1 - 1·1 + x² - 2·x + 1
S(x)x + 1
P(x) +R(x)=x³ + 2·x² + x - x² - 2·x - 1 + x² - 2·x + 1
S(x)x + 1
P(x) +R(x)=x³ + 2·x² - x² + x² + x - 2·x - 2·x - 1 + 1
S(x)x + 1
P(x) +R(x)=x³ + 2·x² - 3·x
S(x)x + 1

Dividimos por Ruffini:

 12-1-3
 
-1 -1-12
 11-2-1

Expresamos el resultado:

P(x) +R(x)= (x + 1)·(x² + x - 2) - 1
S(x)

c)

P(x)/R(x) =

P(x) = x² - 1

R(x) = (x - 1)²

P(x)=x² - 1
R(x)(x - 1)²

Factorizamos la diferencia de cuadrados:

P(x)=(x - 1)·(x + 1)
R(x)(x - 1)²

Simplificamos y obtenemos el resultado de la operación:

P(x)=x + 1
R(x)x - 1

d)

[P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

P(x) - Q(x)=x² - 1 - (x + 1)
R(x) + S(x)(x - 1)² + (x + 1)²

Desarrollamos los binomios al cuadrado en el denominador:

P(x) - Q(x)=x² - 1 - x - 1
R(x) + S(x)x² - 2·x·1 + 1² + x² + 2·x·1 + 1²
P(x) - Q(x)=x² - x - 2
R(x) + S(x)x² - 2·x + 1 + x² + 2·x + 1
P(x) - Q(x)=x² - x - 2
R(x) + S(x)x² + x² - 2·x + 2·x + 1 + 1
P(x) - Q(x)=x² - x - 2
R(x) + S(x)2·x² + 2

Expresamos el resultado:

P(x) - Q(x)=(x - 2)·(x + 1)
R(x) + S(x)2·(x² + 1)

e)

[Q(x)² - R(x)]:P(x) =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

Q(x)² - R(x)=(x + 1)² - (x - 1)²
P(x)x² - 1

El numerador se puede tomar como una diferencia de cuadrados, lo factorizamos:

Q(x)² - R(x)=[(x + 1) - (x - 1)]·[(x + 1) + (x - 1)]
P(x)x² - 1
Q(x)² - R(x)=(x + 1 - x + 1)·(x + 1 + x - 1)
P(x)x² - 1
Q(x)² - R(x)=2·2·x
P(x)x² - 1

Expresamos el resultado:

Q(x)² - R(x)=4·x
P(x)x² - 1

f)

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = [x² - 1 - (x + 1)]² - [(x - 1)² - (x + 1)²]²

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x² - 1 - x - 1)² - [x² - 2·x·1 + 1² - (x² + 2·x·1 + 1²)]

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x² - x - 2)² - [x² - 2·x + 1 - (x² + 2·x + 1)]

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x²·x² - x·x² - 2·x² - x²·x + x·x + 2·x - x²·2 + x·2 + 2·2) - (x² - 2·x + 1 - x² - 2·x - 1)

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - x³ - 2·x² - x³ + x² + 2·x - 2·x² + 2·x + 4 - (-4·x)

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - 2·x³ - 3·x² + 4·x + 4 + 4·x

Expresamos el resultado:

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - 2·x³ - 3·x² + 8·x + 4

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.