Problema n° 4 de operaciones con polinomios - TP03

Enunciado del ejercicio n° 4

Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

Hallar:

a) P(x)/Q(x) =

b) P(x) + R(x)/S(x) =

c) P(x)/R(x) =

d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =

e) [Q(x)² - R(x)]:P(x) =

f) [P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =

Solución

a)

P(x)/Q(x) =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

P(x)/Q(x) =x² - 1
x + 1

El numerador o dividendo es una diferencia de cuadrados, la factorizamos:

P(x)/Q(x) =(x - 1)·(x + 1)
x + 1

Simplificamos y obtenemos el resultado de la operación:

P(x)/Q(x) = x - 1

b)

P(x) + R(x)/S(x) =

P(x) = x² - 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

P(x) +R(x)= x² - 1 +(x - 1)²
S(x)(x + 1)²

Sumamos las fracciones:

P(x) +R(x)=(x² - 1)·(x + 1)² + (x - 1)²
S(x)(x + 1)²

Factorizamos la diferencia de cuadrados:

P(x) +R(x)=(x - 1)·(x + 1)·(x + 1)² + (x - 1)²
S(x)(x + 1)²

Simplificamos:

P(x) +R(x)=(x - 1)·(x + 1)² + (x - 1)²
S(x)x + 1

Desarrollamos los cuadrados de los binomios:

P(x) +R(x)=(x - 1)·(x² + 2·x·1 + 1²) + x² - 2·x·1 + 1²
S(x)x + 1

Aplicamos distributiva:

P(x) +R(x)=x²·x + 2·x·x + 1·x - x²·1 - 2·x·1 - 1·1 + x² - 2·x + 1
S(x)x + 1
P(x) +R(x)=x³ + 2·x² + x - x² - 2·x - 1 + x² - 2·x + 1
S(x)x + 1
P(x) +R(x)=x³ + 2·x² - x² + x² + x - 2·x - 2·x - 1 + 1
S(x)x + 1
P(x) +R(x)=x³ + 2·x² - 3·x
S(x)x + 1

Dividimos por Ruffini:

 12-1-3
 
-1 -1-12
 11-2-1

Expresamos el resultado:

P(x) +R(x)= (x + 1)·(x² + x - 2) - 1
S(x)

c)

P(x)/R(x) =

P(x) = x² - 1

R(x) = (x - 1)²

P(x)=x² - 1
R(x)(x - 1)²

Factorizamos la diferencia de cuadrados:

P(x)=(x - 1)·(x + 1)
R(x)(x - 1)²

Simplificamos y obtenemos el resultado de la operación:

P(x)=x + 1
R(x)x - 1

d)

[P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

P(x) - Q(x)=x² - 1 - (x + 1)
R(x) + S(x)(x - 1)² + (x + 1)²

Desarrollamos los binomios al cuadrado en el denominador:

P(x) - Q(x)=x² - 1 - x - 1
R(x) + S(x)x² - 2·x·1 + 1² + x² + 2·x·1 + 1²
P(x) - Q(x)=x² - x - 2
R(x) + S(x)x² - 2·x + 1 + x² + 2·x + 1
P(x) - Q(x)=x² - x - 2
R(x) + S(x)x² + x² - 2·x + 2·x + 1 + 1
P(x) - Q(x)=x² - x - 2
R(x) + S(x)2·x² + 2

Expresamos el resultado:

P(x) - Q(x)=(x - 2)·(x + 1)
R(x) + S(x)2·(x² + 1)

e)

[Q(x)² - R(x)]:P(x) =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

Q(x)² - R(x)=(x + 1)² - (x - 1)²
P(x)x² - 1

El numerador se puede tomar como una diferencia de cuadrados, lo factorizamos:

Q(x)² - R(x)=[(x + 1) - (x - 1)]·[(x + 1) + (x - 1)]
P(x)x² - 1
Q(x)² - R(x)=(x + 1 - x + 1)·(x + 1 + x - 1)
P(x)x² - 1
Q(x)² - R(x)=2·2·x
P(x)x² - 1

Expresamos el resultado:

Q(x)² - R(x)=4·x
P(x)x² - 1

f)

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = [x² - 1 - (x + 1)]² - [(x - 1)² - (x + 1)²]²

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x² - 1 - x - 1)² - [x² - 2·x·1 + 1² - (x² + 2·x·1 + 1²)]

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x² - x - 2)² - [x² - 2·x + 1 - (x² + 2·x + 1)]

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = (x²·x² - x·x² - 2·x² - x²·x + x·x + 2·x - x²·2 + x·2 + 2·2) - (x² - 2·x + 1 - x² - 2·x - 1)

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - x³ - 2·x² - x³ + x² + 2·x - 2·x² + 2·x + 4 - (-4·x)

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - 2·x³ - 3·x² + 4·x + 4 + 4·x

Expresamos el resultado:

[P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x4 - 2·x³ - 3·x² + 8·x + 4

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios

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