Guía nº 3 de ejercicios resueltos de operaciones con polinomios

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Problema nº 1

Sumar los siguientes polinomios:

a)

P(x) = 0,1·x - 0,05·x² + 0,7

Q(x) = 0,3·x + 1 - x²

S(x) = 3·x²/2 - ⅓ - ¼·x

b)

R(x) = 3·x² - 4·x³ + 2 - 6·x + x⁵

T(x) = 7·x⁵ - x⁴ + 5/3

U(x) = -(6·x - 8·x⁴ + 4·x³ - 2·x² + ⅓)

• Respuesta:

a) P(x) + Q(x) + S(x) =9·x² +3·x +41
202030

b) P(x) + T(x) + U(x) = 8·x⁵ + 7·x⁴ - 8·x³ + 5·x² - 12·x + 10/3

Problema nº 2

Restar los siguientes polinomios:

P(x) = x⁴ - x³ - x² + 2·x + 2

Q(x) = 2·x² + 3·x³ + 4·x⁴ - 5·x + 5

• Respuesta: P(x) - Q(x) = -3·x⁴ - 4·x³ - 3·x² + 7·x - 3

Problema nº 3

Determinar el cociente y el resto de la división de P(x) por Q(x).

a) P(x) = 10·x³ - 2·x² + x - 6; Q(x) = 5·x - 2

b) P(x) = x⁵ - 2·x³ + 3; Q(x) = 2·x³ + 1

c) P(x) = 2·x³ - x + 1; Q(x) = 2·x³ + x - 1

d) P(x) = ⅓·x; Q(x) = x⁴ + 1

• Respuesta:

a) P(x) = (5·x - 2)·(2·x² + ⅖·x + 9/25) - 132/25;

b) P(x) = (2·x³ + 1)·(½·x² - 1) - ½·x² + 4;

c) P(x) = 2·x³ - 2·x² + x + 1;

d) P(x) no es divisible por Q(x).

Problema nº 4

Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x² - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)²

S(x) = (x + 1)²

Hallar:

a) P(x)/Q(x) =

b) P(x) + R(x)/S(x) =

c) P(x)/R(x) =

d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)] =

e) [Q(x)² - R(x)]:P(x) =

f) [P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² =

• Respuesta:

a) P(x)/Q(x) = x - 1;

b) P(x) +R(x)= (x + 1)·(x² + x - 2) - 1;
S(x)
c)P(x)=x + 1
R(x)x - 1
d) P(x) - Q(x)=(x - 2)·(x + 1)
R(x) + S(x)2·(x² + 1)
e)Q(x)² - R(x)=4·x
P(x)x² - 1

f) [P(x) - Q(x)]² - [R(x) - S(x)]² = x⁴ - 2·x³ - 3·x² + 8·x + 4

Problema nº 5

Determinar "a" y "b" sabiendo que el polinomio (6·x² + a·x + b) dividido por (3·x - 2) da cociente (2·x - 1) y resto "0".

• Respuesta: a = -7; b = 2

Problema nº 6

Determinar "h" en (-3 + 2·x² + h·x) de tal modo que al dividirlo por (x - 5) de resto 140.

• Respuesta: h = 93/5

Problema nº 7

Si P(x) = 2·x⁴ - h·x + 2 y Q(x) = x + 1, calcular "h" para que P(x) sea divisible por Q(x).

• Respuesta: h = -4

Problema nº 8

¿Para qué valores de "a" la división de (x² - 3·x - 2·a) por (x + 2) da resto 7?

• Respuesta: a = 3/2

Problema nº 9

Sin efectuar ningún tipo de división, obtener el resto de la división de:

a) P(x) = 4·x⁴ + 6·x² + 1 por 2·x + 3

b) P(x) = (x - 3)² - 2·(x + 1) por 2·x - (x - 1)

c) P(x) = 6·x⁴ - 3 + 17·x - 79·x²/4 - 5·x³/2 por x - 3/2

• Respuesta:

a) 139/4;

b) 16;

c) 0

Problema nº 10

Hallar los valores de "a" y "b", tal que:

a) x⁴ + x³ + x² + a·x + b sea divisible por (x - 1) y (x + 1)

b) a·x³ - 3·x² + b·x - 8 sea divisible por (x - 3) y (x - 5)

• Respuesta:

a) a = -1; b = -2;

b) a =37; b=1.067
120120

Problemas resueltos:

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