Problema n° 10 de operaciones con polinomios, incógnitas - TP03
Enunciado del ejercicio n° 10
Hallar los valores de a y b, tal que:
a) x⁴ + x³ + x² + a·x + b sea divisible por (x - 1) y (x + 1)
b) a·x³ - 3·x² + b·x - 8 sea divisible por (x - 3) y (x - 5)
Solución
a)
P(x) = x⁴ + x³ + x² + a·x + b
Para que se cumpla lo solicitado el resto en ambas divisiones debe ser igual a cero. Es decir:
P(1) = 0 ∧ P(-1) = 0
Aplicando el teorema del resto tenemos:
P(1) = (1)⁴ + (1)³ + (1)² + a·(1) + b = 0
P(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + a·(-1) + b = 0
(1)⁴ + (1)³ + (1)² + a·(1) + b = 0
1 + 1 + 1 + a + b = 0
3 + a + b = 0
(-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + a·(-1) + b = 0
1 - 1 + 1 - a + b = 0
1 - a + b = 0
Así tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
3 + a + b = 0
1 - a + b = 0
Sumamos ambas ecuaciones:
| + | 3 | + a | + b | = 0 |
| 1 | - a | + b | = 0 | |
| 4 | + 0 | + 2·b | = 0 |
4 + 2·b = 0
Despejamos "b":
2·b = -4
b = -2
Reemplazamos "b" en alguna de las ecuaciones anteriores, por ejemplo:
3 + a + b = 0
3 + a + (-2) = 0
3 + a - 2 = 0
1 + a = 0
Despejamos "a":
a = -1
Expresamos el resultado:
a = -1
b = -2
P(x) = x⁴ + x³ + x² - x - 2
Verificar efectuando la división.
b)
P(x) = a·x³ - 3·x² + b·x - 8
Para que se cumpla lo solicitado el resto en ambas divisiones debe ser igual a cero. Es decir:
P(3) = 0 ∧ P(5) = 0
Aplicando el teorema del resto tenemos:
P(3) = a·(3)³ - 3·(3)² + b·(3) - 8 = 0
P(5) = a·(5)³ - 3·(5)² + b·(5) - 8 = 0
a·27 - 3·9 + b·3 - 8 = 0
a·27 - 27 + b·3 - 8 = 0
a·27 + b·3 - 35 = 0
a·125 - 3·25 + b·5 - 8 = 0
a·125 - 75 + b·5 - 8 = 0
a·125 + b·5 - 83 = 0
Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
a·27 + 3·b - 35 = 0
a·125 + 5·b - 83 = 0
Despejamos "a" de la primera ecuación y luego reemplazamos en la segunda:
a·27 = 35 - 3·b
| a = | 35 - 3·b |
| 27 |
| 35 - 3·b | ·125 + 5·b - 83 = 0 |
| 27 |
| 4.375 - 375·b | + 5·b - 83 = 0 |
| 27 |
| 4.375 - 375·b + 27·5·b - 27·83 | = 0 |
| 27 |
4.375 - 375·b + 135·b - 2.241 = 0
2.134 - 240·b = 0
Despejamos "b":
-240·b = -2.134
| b = | -2.134 |
| -240 |
| b = | 1.067 |
| 120 |
Reemplazamos "b" en "a":
| 35 - 3· | 1.067 | |
| a = | 120 | |
| 27 | ||
| 35 - | 1.067 | |
| a = | 40 | |
| 27 | ||
| 35·40 - 1.067 | |
| a = | 40 |
| 27 |
| 1.400 - 1.067 | |
| a = | 40 |
| 27 |
| 333 | |
| a = | 40 |
| 27 |
| a = | 333 |
| 40·27 |
| a = | 37 |
| 40·3 |
| a = | 37 |
| 120 |
Expresamos el resultado:
| a = | 37 |
| 120 |
| b = | 1.067 |
| 120 |
| P(x) = | 37 | ·x³ - 3·x² + | 1.067 | ·x - 8 |
| 120 | 120 |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar incógnitas en polinomios