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Ejemplo, cómo hallar incógnitas en polinomios

Problema n° 10 de operaciones con polinomios

Enunciado del ejercicio n° 10

Hallar los valores de a y b, tal que:

a) x4 + x³ + x² + a·x + b sea divisible por (x - 1) y (x + 1)

b) a·x³ - 3·x² + b·x - 8 sea divisible por (x - 3) y (x - 5)

Solución

a)

P(x) = x4 + x³ + x² + a·x + b

Para que se cumpla lo solicitado el resto en ambas divisiones debe ser igual a cero. Es decir:

P(1) = 0 ∧ P(-1) = 0

Aplicando el teorema del resto tenemos:

P(1) = (1)4 + (1)³ + (1)² + a·(1) + b = 0

P(-1) = (-1)4 + (-1)³ + (-1)² + a·(-1) + b = 0

(1)4 + (1)³ + (1)² + a·(1) + b = 0

1 + 1 + 1 + a + b = 0

3 + a + b = 0

(-1)4 + (-1)³ + (-1)² + a·(-1) + b = 0

1 - 1 + 1 - a + b = 0

1 - a + b = 0

Así tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

3 + a + b = 0
1 - a + b = 0

Sumamos ambas ecuaciones:

+3+ a+ b= 0
1- a+ b= 0
 4+ 0+ 2·b= 0

4 + 2·b = 0

Despejamos "b":

2·b = -4

b = -2

Reemplazamos "b" en alguna de las ecuaciones anteriores, por ejemplo:

3 + a + b = 0

3 + a + (-2) = 0

3 + a - 2 = 0

1 + a = 0

Despejamos "a":

a = -1

Expresamos el resultado:

a = -1

b = -2

P(x) = x4 + x³ + x² - x - 2

Verificar efectuando la división.

b)

P(x) = a·x³ - 3·x² + b·x - 8

Para que se cumpla lo solicitado el resto en ambas divisiones debe ser igual a cero. Es decir:

P(3) = 0 ∧ P(5) = 0

Aplicando el teorema del resto tenemos:

P(3) = a·(3)³ - 3·(3)² + b·(3) - 8 = 0

P(5) = a·(5)³ - 3·(5)² + b·(5) - 8 = 0

a·27 - 3·9 + b·3 - 8 = 0

a·27 - 27 + b·3 - 8 = 0

a·27 + b·3 - 35 = 0

a·125 - 3·25 + b·5 - 8 = 0

a·125 - 75 + b·5 - 8 = 0

a·125 + b·5 - 83 = 0

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

a·27 + 3·b - 35 = 0
a·125 + 5·b - 83 = 0

Despejamos "a" de la primera ecuación y luego reemplazamos en la segunda:

a·27 = 35 - 3·b

a =35 - 3·b
27
35 - 3·b·125 + 5·b - 83 = 0
27
4.375 - 375·b+ 5·b - 83 = 0
27
4.375 - 375·b + 27·5·b - 27·83 = 0
27

4.375 - 375·b + 135·b - 2.241 = 0

2.134 - 240·b = 0

Despejamos "b":

-240·b = -2.134

b =-2.134
-240
b =1.067
120

Reemplazamos "b" en "a":

 35 - 3·1.067
a =120
27
 35 -1.067
a =40
27
 35·40 - 1.067
a =40
27
 1.400 - 1.067
a =40
27
 333
a =40
27
a =333
40·27
a =37
40·3
a =37
120

Expresamos el resultado:

a =37
120
b =1.067
120
P(x) =37·x³ - 3·x² +1.067·x - 8
120120

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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