Ejemplo de suma, resta, producto, división y potenciación de expresiones algebraicas
Problema n° 1 de operaciones con expresiones algebraicas - TP07
Enunciado del ejercicio n° 1
Efectuar:
| b) | 3·x² + x - 2 | · | x² - 1 | = |
| x² - 1 | 6·x - 4 |
| c) ( | 3 | - | 4 | )÷ | x - 5 | = |
| x - 2 | x - 1 | 4·x |
| d) ( | 2 | + | 3 | )² - [ | 1 | - | 1 | ]² = |
| x - 1 | x + 1 | (x - 1)² | x - 1 |
Solución
a)
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x + 1)·(x - 1)":
| = | 3·(x - 1) + x·(x + 1) | = |
| (x + 1)·(x - 1) |
En el numerador aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta, el denominador es una diferencia de cuadrados:
Sumamos los términos del numerador y los ordenamos:
Expresamos el resultado:
| 3 | + | x | = | x² + 3·x - 2 |
| x + 1 | x - 1 | x² - 1 |
b)
| 3·x² + x - 2 | · | x² - 1 | = |
| x² - 1 | 6·x - 4 |
Simplificamos:
| = | 3·x² + x - 2 | · | x² - 1 | = |
| x² - 1 | 6·x - 4 |
Expresamos el resultado:
| 3·x² + x - 2 | · | x² - 1 | = | 3·x² + x - 2 |
| x² - 1 | 6·x - 4 | 2·(3·x - 4) |
c)
| ( | 3 | - | 4 | )÷ | x - 5 | = |
| x - 2 | x - 1 | 4·x |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 2)·(x - 1)":
| = | 3·(x - 1) - 4·(x - 2) | ÷ | x - 5 | = |
| (x - 2)·(x - 1) | 4·x |
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
| = | 3·x - 3 - 4·x + 8 | ÷ | x - 5 | = |
| (x - 2)·(x - 1) | 4·x |
Sumamos los términos del numerador y los ordenamos:
| = | -x + 5 | ÷ | x - 5 | = |
| (x - 2)·(x - 1) | 4·x |
Expresamos la división como producto:
| = | -x + 5 | · | 4·x | = |
| (x - 2)·(x - 1) | x - 5 |
Extraemos factor común "-1" del binomio "-x + 5":
| = | -1·(x - 5) | · | 4·x | = |
| (x - 2)·(x - 1) | x - 5 |
Simplificamos:
| = | -1·(x - 5) | · | 4·x | = |
| (x - 2)·(x - 1) | x - 5 |
Expresamos el resultado:
| ( | 3 | - | 4 | )÷ | x - 5 | = | -4·x |
| x - 2 | x - 1 | 4·x | (x - 2)·(x - 1) |
d)
| ( | 2 | + | 3 | )² - [ | 1 | - | 1 | ]² = |
| x - 1 | x + 1 | (x - 1)² | x - 1 |
Sumamos las fracciones, entre los paréntesis el denominador común será "(x - 1)·(x + 1)" y, entre los corchetes el denominador común será "(x - 1)²":
| = [ | 2·(x + 1) + 3·(x - 1) | ]² - [ | 1 - (x - 1) | ]² = |
| (x - 1)·(x + 1) | (x - 1)² |
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta en el primer numerador:
| = [ | 2·x + 2 + 3·x - 3 | ]² - [ | 1 - x + 1 | ]² = |
| (x - 1)·(x + 1) | (x - 1)² |
Resolvemos:
| = [ | 5·x - 1 | ]² - [ | -x + 2 | ]² = |
| (x - 1)·(x + 1) | (x - 1)² |
Aplicamos la propiedad distributiva de la potencia con respecto a la división:
| = | (5·x - 1)² | - | (-x + 2)² | = |
| [(x - 1)·(x + 1)]² | [(x - 1)²]² |
Aplicamos la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto en los denominadores:
| = | (5·x - 1)² | - | (-x + 2)² | = |
| (x - 1)²·(x + 1)² | (x - 1)4 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x + 1)²·(x - 1)4":
| = | (5·x - 1)²·(x - 1)² - (-x + 2)²·(x + 1)² |
| (x + 1)²·(x - 1)4 |
Expresamos el resultado:
| ( | 2 | + | 3 | )² - [ | 1 | - | 1 | ]² = | (5·x - 1)²·(x - 1)² - (-x + 2)²·(x + 1)² |
| x - 1 | x + 1 | (x - 1)² | x - 1 | (x + 1)²·(x - 1)4 |
Autor: Ricardo Santiago Netto
(Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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