Problema nº 3-c de operaciones con expresiones algebraicas, pasar a suma de fracciones parciales
Enunciado del ejercicio nº 3-c
Escribir como suma de fracciones parciales la siguiente fracción:
Solución
Factorizamos el denominador, diferencia de potencias de igual grado con exponente impar:
x³ - 1 = (x - 1)·(x² + x + 1)
Armamos la ecuación para la fracción parcial empleando el denominador "(x - 1)·(x² + x + 1)":
Multiplicamos los coeficientes por el denominador común:
Simplificamos:
x² - 2 = a·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x - 1)
Calculamos el coeficiente para la raíz del denominador "x - 1":
1² - 2 = a·(1² + 1 + 1) + (b·1 + c)·(1 - 1)
1 - 2 = a·(1 + 1 + 1) + (b + c)·0
-1 = a·3
a = -⅓
Reemplazamos "a" en la ecuación inicial:
x² - 2 = -⅓·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x - 1)
Desarrollamos:
x² - 2 = -⅓·x² - ⅓·x - ⅓ + b·x² + c·x - b·x - c
Agrupamos los términos por potencias de "x":
x² - 2 = -⅓·x² + b·x² - ⅓·x + c·x - b·x - c - ⅓
x² - 2 = (-⅓ + b)·x² + (-⅓ + c - b)·x - c - ⅓
Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:
-⅓ + b = 1 ⇒ b = 1 + ⅓ ⇒ b = 4/3
-⅓ + c - b = 0
-c - ⅓ = -2 ⇒ c = 2 - ⅓ ⇒ c = 5/3
Reemplazamos los coeficientes en la ecuación:
Expresamos el resultado:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo pasar una expresión algebraica a suma de fracciones parciales