Problema n° 3-c de operaciones con expresiones algebraicas - TP07

Enunciado del ejercicio n° 3-c

Escribir como suma de fracciones parciales la siguiente fracción:

x² - 2	=
x³ - 1

x² - 2	=
x³ - 1

Factorizamos el denominador, diferencia de potencias de igual grado con exponente impar:

x³ - 1 = (x - 1)·(x² + x + 1)

Armamos la ecuación para la fracción parcial empleando el denominador "(x - 1)·(x² + x + 1)":

x² - 2	=	a	+	b·x + c
(x - 1)·(x² + x + 1)	=	x - 1	+	x² + x + 1

Multiplicamos los coeficientes por el denominador común:

x² - 2 =	a·(x - 1)·(x² + x + 1)	+	(b·x + c)·(x - 1)·(x² + x + 1)
	x - 1		x² + x + 1

Simplificamos:

x² - 2 = a·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x - 1)

Calculamos el coeficiente para la raíz del denominador "x - 1":

1² - 2 = a·(1² + 1 + 1) + (b·1 + c)·(1 - 1)

1 - 2 = a·(1 + 1 + 1) + (b + c)·0

-1 = a·3

a = -⅓

Reemplazamos "a" en la ecuación inicial:

x² - 2 = -⅓·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x - 1)

Desarrollamos:

x² - 2 = -⅓·x² - ⅓·x - ⅓ + b·x² + c·x - b·x - c

Agrupamos los términos por potencias de "x":

x² - 2 = -⅓·x² + b·x² - ⅓·x + c·x - b·x - c - ⅓

x² - 2 = (-⅓ + b)·x² + (-⅓ + c - b)·x - c - ⅓

Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:

-⅓ + b = 1 ⇒ b = 1 + ⅓ ⇒ b = 4/3

-⅓ + c - b = 0

-c - ⅓ = -2 ⇒ c = 2 - ⅓ ⇒ c = 5/3

Reemplazamos los coeficientes en la ecuación:

x² - 2	=	-⅓	+	(4/3)·x + 5/3
(x - 1)·(x² + x + 1)	=	x - 1	+	x² + x + 1

Expresamos el resultado:

x² - 2	= -	1	+	4·x + 5
x³ - 1	= -	3·(x - 1)	+	3·(x² + x + 1)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo pasar una expresión algebraica a suma de fracciones parciales