Problema n° 3-b de operaciones con expresiones algebraicas - TP07

Enunciado del ejercicio n° 3-b

Escribir como suma de fracciones parciales la siguiente fracción:

30·x5=
x6 - x4 - x² + 1

Solución

30·x5=
x6 - x4 - x² + 1

Factorizamos el denominador, aplicando el Teorema del Resto se observa con facilidad que para valores de "x" iguales a "1" y "-1" el resto da cero, dividimos sucesivamente:

 10-10-101
 
1 1100-1-1
 1100-1-10

Q(x) = x - 1

C(x) = x5 + x4 - x - 1

R = 0

x6 - x4 - x² + 1 = (x - 1)·(x5 + x4 - x - 1)

 1100-1-1
 
1 12221
 122210

Q(x) = x - 1

C(x) = x4 + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1

R = 0

x6 - x4 - x² + 1 = (x - 1)·(x - 1)·(x4 + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1)

 12221
 
-1 -1-3-1-1
 11110

Q(x) = x + 1

C(x) = x³ + x² + x + 1

R = 0

x6 - x4 - x² + 1 = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)·(x³ + x² + x + 1)

 1111
 
-1 -10-1
 1010

Q(x) = x + 1

C(x) = x² + 1

R = 0

x6 - x4 - x² + 1 = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)·(x + 1)·(x² + 1)

Armamos la ecuación para la fracción parcial empleando el denominador "(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)":

30·x5=a+b+c+d+e·x + f
(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)x - 1(x - 1)²x + 1(x + 1)²x² + 1

Multiplicamos los coeficientes por el denominador común:

30·x5 =a·(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)+b·(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)+c·(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)+d·(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)+(e·x + f)·(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)
x - 1(x - 1)²x + 1(x + 1)²x² + 1

Simplificamos:

30·x5 = a·(x - 1)·(x + 1)²·(x² + 1) + b·(x + 1)²·(x² + 1) + c·(x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1) + d·(x - 1)²·(x² + 1) + (e·x + f)·(x - 1)²·(x + 1)²

Calculamos el coeficiente para la raíz del denominador "x - 1":

30·15 = a·(1 - 1)·(1 + 1)²·(1² + 1) + b·(1 + 1)²·(1² + 1) + c·(1 - 1)²·(1 + 1)·(1² + 1) + d·(1 - 1)²·(1² + 1) + (e·1 + f)·(1 - 1)²·(1 + 1)²

30 = a·0·2²·(1 + 1) + b·2²·(1 + 1) + c·0²·2·(1 + 1) + d·0²·(1 + 1) + (e + f)·0²·2²

30 = b·4·2

30 = b·8

b = 15/4

Calculamos el coeficiente para la raíz del denominador "x + 1":

30·(-1)5 = a·(-1 - 1)·(-1 + 1)²·[(-1)² + 1] + b·(-1 + 1)²·[(-1)² + 1] + c·(-1 - 1)²·(-1 + 1)·[(-1)² + 1] + d·(-1 - 1)²·[(-1)² + 1] + [e·(-1) + f]·(-1 - 1)²·(-1 + 1)²

30·(-1) = a·(-2)·0²·(1 + 1) + b·0²·(1 + 1) + c·(-2)²·0·(1 + 1) + d·(-2)²·(1 + 1) + (-e + f)·(-2)²·0²

-30 = d·4·2

-30 = d·8

d = -15/4

Reemplazamos "b" y "d" en la ecuación inicial:

30·x5 = a·(x - 1)·(x + 1)²·(x² + 1) + (15/4)·(x + 1)²·(x² + 1) + c·(x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1) + (-15/4)·(x - 1)²·(x² + 1) + (e·x + f)·(x - 1)²·(x + 1)²

Desarrollamos:

30·x5 = a·(x - 1)·(x² + 2·x + 1)·(x² + 1) + (15/4)·(x² + 2·x + 1)·(x² + 1) + c·(x² - 2·x + 1)·(x + 1)·(x² + 1) - (15/4)·(x² - 2·x + 1)·(x² + 1) + (e·x + f)·(x² - 2·x + 1)·(x² + 2·x + 1)

30·x5 = a·(x³ + 2·x² + x - x² - 2·x - 1)·(x² + 1) + (15/4)·(x4 + 2·x³ + x² + x² + 2·x + 1) + c·(x³ - 2·x² + x + x² - 2·x + 1)·(x² + 1) - (15/4)·(x4 - 2·x³ + x² + x² - 2·x + 1) + (e·x + f)·(x4 - 2·x³ + x² + 2·x³ - 4·x² + 2·x + x² - 2·x + 1)

30·x5 = a·(x5 + x4 - x³ - x² + x³ + x² - x - 1) + (15/4)·(x4 + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1) + c·(x5 - x4 - x³ + x² + x³ - x² - x + 1) - (15/4)·(x4 - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1) + (e·x + f)·(x4 - 2·x² + 1)

30·x5 = a·(x5 + x4 - x - 1) + (15/4)·(x4 + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1) + c·(x5 - x4 - x + 1) - (15/4)·(x4 - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1) + e·x5 - 2·e·x³ + e·x + f·x4 - 2·f·x² + f

30·x5 = a·x5 + a·x4 - a·x - a + (15/4)·x4 + (15/4)·2·x³ + (15/4)·2·x² + (15/4)·2·x + 15/4 + c·x5 - c·x4 - c·x + c - (15/4)·x4 + (15/4)·2·x³ - (15/4)·2·x² + (15/4)·2·x - 15/4 + e·x5 - 2·e·x³ + e·x + f·x4 - 2·f·x² + f

30·x5 = a·x5 + a·x4 - a·x - a + (15/4)·x4 + (15/2)·x³ + (15/2)·x² + (15/2)·x + 15/4 + c·x5 - c·x4 - c·x + c - (15/4)·x4 + (15/2)·x³ - (15/2)·x² + (15/2)·x - 15/4 + e·x5 - 2·e·x³ + e·x + f·x4 - 2·f·x² + f

Agrupamos los términos por potencias de "x":

30·x5 = a·x5 + c·x5 + e·x5 + a·x4 + (15/4)·x4 - c·x4 - (15/4)·x4 + f·x4 + (15/2)·x³ + (15/2)·x³ - 2·e·x³ + (15/2)·x² - (15/2)·x² - 2·f·x² - a·x + (15/2)·x - c·x + (15/2)·x + e·x - a + 15/4 + c - 15/4 + f

30·x5 = (a + c + e)·x5 + (a + 15/4 - c - 15/4 + f)·x4 + (15/2 + 15/2 - 2·e)·x³ + (15/2 - 15/2 - 2·f)·x² + (a + 15/2 - c + 15/2 + e)·x - a + c + f

30·x5 = (a + c + e)·x5 + (a - c + f)·x4 + (30/2 - 2·e)·x³ + (-2·f)·x² + (a - c + 30/2 + e)·x - a + c + f

30·x5 = (a + c + e)·x5 + (a - c + f)·x4 + (15 - 2·e)·x³ - 2·f·x² + (a - c + 15 + e)·x - a + c + f

Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:

a + c + e = 30 (1)

a - c + f = 0 (2)

15 - 2·e = 0 ⇒ e = 15/2 (3)

-2·f = 0 ⇒ f = 0 (4)

a - c + e + 15 = 0 (5)

-a + c + f = 0 (6)

Reemplazamos (3) y (4) en las otras ecuaciones:

a + c + 15/2 = 30 (1)

a - c + 0 = 0 (2)

a - c + 15/2 + 15 = 0 (5)

-a + c + 0 = 0 (6)

De (2):

a = c

Reemplazamos en (1):

c + c = 30 - 15/2 ⇒ 2·c = 45/2 ⇒ c = 45/4

Por lo tanto:

a = 45/4

Reemplazamos los coeficientes en la ecuación:

30·x5=45/4+15/4+45/4+-15/4+(15/2)·x + 0
(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)x - 1(x - 1)²x + 1(x + 1)²x² + 1

Expresamos el resultado:

30·x5=45+15+45-15+15·x
x6 - x4 - x² + 14·(x - 1)4·(x - 1)²4·(x + 1)4·(x + 1)²2·(x² + 1)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo pasar una expresión algebraica a suma de fracciones parciales

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