Problema nº 3-b de operaciones con expresiones algebraicas, pasar a suma de fracciones parciales
Enunciado del ejercicio nº 3-b
Escribir como suma de fracciones parciales la siguiente fracción:
Solución
Factorizamos el denominador, aplicando el Teorema del Resto se observa con facilidad que para valores de "x" iguales a "1" y "-1" el resto da cero, dividimos sucesivamente:
Q(x) = x - 1
C(x) = x⁵ + x⁴ - x - 1
R = 0
x⁶ - x⁴ - x² + 1 = (x - 1)·(x⁵ + x⁴ - x - 1)
Q(x) = x - 1
C(x) = x⁴ + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1
R = 0
x⁶ - x⁴ - x² + 1 = (x - 1)·(x - 1)·(x⁴ + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1)
Q(x) = x + 1
C(x) = x³ + x² + x + 1
R = 0
x⁶ - x⁴ - x² + 1 = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)·(x³ + x² + x + 1)
Q(x) = x + 1
C(x) = x² + 1
R = 0
x⁶ - x⁴ - x² + 1 = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)·(x + 1)·(x² + 1)
Armamos la ecuación para la fracción parcial empleando el denominador "(x - 1)²·(x + 1)²·(x² + 1)":
Multiplicamos los coeficientes por el denominador común:
Simplificamos:
30·x⁵ = a·(x - 1)·(x + 1)²·(x² + 1) + b·(x + 1)²·(x² + 1) + c·(x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1) + d·(x - 1)²·(x² + 1) + (e·x + f)·(x - 1)²·(x + 1)²
Calculamos el coeficiente para la raíz del denominador "x - 1":
30·1⁵ = a·(1 - 1)·(1 + 1)²·(1² + 1) + b·(1 + 1)²·(1² + 1) + c·(1 - 1)²·(1 + 1)·(1² + 1) + d·(1 - 1)²·(1² + 1) + (e·1 + f)·(1 - 1)²·(1 + 1)²
30 = a·0·2²·(1 + 1) + b·2²·(1 + 1) + c·0²·2·(1 + 1) + d·0²·(1 + 1) + (e + f)·0²·2²
30 = b·4·2
30 = b·8
b = 15/4
Calculamos el coeficiente para la raíz del denominador "x + 1":
30·(-1)⁵ = a·(-1 - 1)·(-1 + 1)²·[(-1)² + 1] + b·(-1 + 1)²·[(-1)² + 1] + c·(-1 - 1)²·(-1 + 1)·[(-1)² + 1] + d·(-1 - 1)²·[(-1)² + 1] + [e·(-1) + f]·(-1 - 1)²·(-1 + 1)²
30·(-1) = a·(-2)·0²·(1 + 1) + b·0²·(1 + 1) + c·(-2)²·0·(1 + 1) + d·(-2)²·(1 + 1) + (-e + f)·(-2)²·0²
-30 = d·4·2
-30 = d·8
d = -15/4
Reemplazamos "b" y "d" en la ecuación inicial:
30·x⁵ = a·(x - 1)·(x + 1)²·(x² + 1) + (15/4)·(x + 1)²·(x² + 1) + c·(x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1) + (-15/4)·(x - 1)²·(x² + 1) + (e·x + f)·(x - 1)²·(x + 1)²
Desarrollamos:
30·x⁵ = a·(x - 1)·(x² + 2·x + 1)·(x² + 1) + (15/4)·(x² + 2·x + 1)·(x² + 1) + c·(x² - 2·x + 1)·(x + 1)·(x² + 1) - (15/4)·(x² - 2·x + 1)·(x² + 1) + (e·x + f)·(x² - 2·x + 1)·(x² + 2·x + 1)
30·x⁵ = a·(x³ + 2·x² + x - x² - 2·x - 1)·(x² + 1) + (15/4)·(x⁴ + 2·x³ + x² + x² + 2·x + 1) + c·(x³ - 2·x² + x + x² - 2·x + 1)·(x² + 1) - (15/4)·(x⁴ - 2·x³ + x² + x² - 2·x + 1) + (e·x + f)·(x⁴ - 2·x³ + x² + 2·x³ - 4·x² + 2·x + x² - 2·x + 1)
30·x⁵ = a·(x⁵ + x⁴ - x³ - x² + x³ + x² - x - 1) + (15/4)·(x⁴ + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1) + c·(x⁵ - x⁴ - x³ + x² + x³ - x² - x + 1) - (15/4)·(x⁴ - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1) + (e·x + f)·(x⁴ - 2·x² + 1)
30·x⁵ = a·(x⁵ + x⁴ - x - 1) + (15/4)·(x⁴ + 2·x³ + 2·x² + 2·x + 1) + c·(x⁵ - x⁴ - x + 1) - (15/4)·(x⁴ - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1) + e·x⁵ - 2·e·x³ + e·x + f·x⁴ - 2·f·x² + f
30·x⁵ = a·x⁵ + a·x⁴ - a·x - a + (15/4)·x⁴ + (15/4)·2·x³ + (15/4)·2·x² + (15/4)·2·x + 15/4 + c·x⁵ - c·x⁴ - c·x + c - (15/4)·x⁴ + (15/4)·2·x³ - (15/4)·2·x² + (15/4)·2·x - 15/4 + e·x⁵ - 2·e·x³ + e·x + f·x⁴ - 2·f·x² + f
30·x⁵ = a·x⁵ + a·x⁴ - a·x - a + (15/4)·x⁴ + (15/2)·x³ + (15/2)·x² + (15/2)·x + 15/4 + c·x⁵ - c·x⁴ - c·x + c - (15/4)·x⁴ + (15/2)·x³ - (15/2)·x² + (15/2)·x - 15/4 + e·x⁵ - 2·e·x³ + e·x + f·x⁴ - 2·f·x² + f
Agrupamos los términos por potencias de "x":
30·x⁵ = a·x⁵ + c·x⁵ + e·x⁵ + a·x⁴ + (15/4)·x⁴ - c·x⁴ - (15/4)·x⁴ + f·x⁴ + (15/2)·x³ + (15/2)·x³ - 2·e·x³ + (15/2)·x² - (15/2)·x² - 2·f·x² - a·x + (15/2)·x - c·x + (15/2)·x + e·x - a + 15/4 + c - 15/4 + f
30·x⁵ = (a + c + e)·x⁵ + (a + 15/4 - c - 15/4 + f)·x⁴ + (15/2 + 15/2 - 2·e)·x³ + (15/2 - 15/2 - 2·f)·x² + (a + 15/2 - c + 15/2 + e)·x - a + c + f
30·x⁵ = (a + c + e)·x⁵ + (a - c + f)·x⁴ + (30/2 - 2·e)·x³ + (-2·f)·x² + (a - c + 30/2 + e)·x - a + c + f
30·x⁵ = (a + c + e)·x⁵ + (a - c + f)·x⁴ + (15 - 2·e)·x³ - 2·f·x² + (a - c + 15 + e)·x - a + c + f
Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:
a + c + e = 30 (1)
a - c + f = 0 (2)
15 - 2·e = 0 ⇒ e = 15/2 (3)
-2·f = 0 ⇒ f = 0 (4)
a - c + e + 15 = 0 (5)
-a + c + f = 0 (6)
Reemplazamos (3) y (4) en las otras ecuaciones:
a + c + 15/2 = 30 (1)
a - c + 0 = 0 (2)
a - c + 15/2 + 15 = 0 (5)
-a + c + 0 = 0 (6)
De (2):
a = c
Reemplazamos en (1):
c + c = 30 - 15/2 ⇒ 2·c = 45/2 ⇒ c = 45/4
Por lo tanto:
a = 45/4
Reemplazamos los coeficientes en la ecuación:
Expresamos el resultado:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo pasar una expresión algebraica a suma de fracciones parciales