Problema n° 2 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP10

Enunciado del ejercicio n° 2

Encontrar "a" y "b" para que los siguientes polinomios tengan una raíz con los valores indicados:

a) a·x4 + a·x² - x - 1 en x = 1

b) a·x5 + 3·x³ - b·x² + 1 en x = -1 y x = ½

Solución

a)

P(x) = a·x4 + a·x² - x - 1

x1 = 1 ⇒ P(1) = 0

Hallamos el valor numérico de P(x) para x1 = 1:

P(1) = a·14 + a·1² - 1 - 1 = 0

a + a - 1 - 1 = 0

2·a - 2 = 0

Despejamos "a":

2·a = 2

a = 2/2

Resultado, el valor del coeficiente es:

a = 1

P(x) = x4 + x² - x - 1

b)

P(x) = a·x5 + 3·x³ - b·x² + 1

x1 = -1 ⇒ P(-1) = 0

x2 = ½ ⇒ P(½) = 0

Hallamos el valor numérico de P(x) para x1 = -1:

P(-1) = a·(-1)5 + 3·(-1)³ - b·(-1)² + 1 = 0

a·(-1) + 3·(-1) - b·1 + 1 = 0

-a - 3 - b + 1 = 0

-a - b - 2 = 0 (1)

Hallamos el valor numérico de P(x) para x2 = ½:

P(½) = a·(½)5 + 3·(½)³ - b·(½)² + 1 = 0

1+ 3·1- b·1+ 1 = 0
3284
a+3-b+ 1 = 0
3284

Sumamos las fracciones:

a + 3·4 - b·8 + 32= 0
32

a + 12 - b·8 + 32 = 0·32

a - b·8 + 44 = 0 (2)

(1) y (2) forman un sistema de ecuaciones de 2 × 2. De (1) despejamos "a":

a = -b - 2 (3)

Reemplazamos "a" en la (2):

-b - 2 - b·8 + 44 = 0

Resolvemos:

-9·b + 42 = 0

Despejamos "b":

-9·b = -42

b = -42/-9

b = 14/3

Reemplazamos "b" en la (3):

a = -14- 2
3

Resolvemos:

a =-14 - 2·3
3
a =-14 - 6
3
a =-20
3

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = -20
3
b =14
3
P(x) = -20·x5 + 3·x³ -14·x² + 1
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Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio

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