Problema nº 3 de cálculo de los coeficientes de un polinomio
Enunciado del ejercicio nº 3
Calcular a, b y c tales que 2·x - 1 = a·(x² + x + 3) + b·(x² - 2·x + 1) + c·(x² - 3)
Solución
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
2·x - 1 = a·(x² + x + 3) + b·(x² - 2·x + 1) + c·(x² - 3)
2·x - 1 = a·x² + a·x + 3·a + b·x² - 2·b·x + b + c·x² - 3·c
Agrupamos los términos por potencias de "x":
2·x - 1 = a·x² + b·x² + c·x² + a·x - 2·b·x + 3·a + b - 3·c
2·x - 1 = (a + b + c)·x² + (a - 2·b)·x + 3·a + b - 3·c
Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:
(a + b + c)·x² = 0·x² ⇒ a + b + c = 0 (1)
(a - 2·b)·x = 2·x ⇒ a - 2·b = 2 (2)
3·a + b - 3·c = -1 (3)
De la ecuación (2) despejamos "a":
a = 2·b + 2 (4)
Reemplazamos "a" en (1) y (3):
2·b + 2 + b + c = 0
3·b + 2 + c = 0 (5)
3·(2·b + 2) + b - 3·c = -1
6·b + 6 + b - 3·c = -1
7·b + 6 - 3·c = -1 (6)
De la ecuación (5) despejamos "c":
c = -3·b - 2 (7)
Reemplazamos "c" en la (6):
7·b + 6 - 3·(-3·b - 2) = -1
7·b + 6 + 9·b + 6 = -1
16·b + 12 = -1
Despejamos "b":
16·b = -1 - 12
16·b = -13
Reemplazamos "b" en la (4):
Reemplazamos "a" y "b" en la (1):
a + b + c = 0
Despejamos "c":
Resultado, los valores de los coeficientes son:
Verificar.
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio