Problema n° 3 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP10

Enunciado del ejercicio n° 3

Calcular a, b y c tales que 2·x - 1 = a·(x² + x + 3) + b·(x² - 2·x + 1) + c·(x² - 3)

Solución

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

2·x - 1 = a·(x² + x + 3) + b·(x² - 2·x + 1) + c·(x² - 3)

2·x - 1 = a·x² + a·x + 3·a + b·x² - 2·b·x + b + c·x² - 3·c

Agrupamos los términos por potencias de "x":

2·x - 1 = a·x² + b·x² + c·x² + a·x - 2·b·x + 3·a + b - 3·c

2·x - 1 = (a + b + c)·x² + (a - 2·b)·x + 3·a + b - 3·c

Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:

(a + b + c)·x² = 0·x² ⇒ a + b + c = 0 (1)

(a - 2·b)·x = 2·x ⇒ a - 2·b = 2 (2)

3·a + b - 3·c = -1 (3)

De la ecuación (2) despejamos "a":

a = 2·b + 2 (4)

Reemplazamos "a" en (1) y (3):

2·b + 2 + b + c = 0

3·b + 2 + c = 0 (5)

3·(2·b + 2) + b - 3·c = -1

6·b + 6 + b - 3·c = -1

7·b + 6 - 3·c = -1 (6)

De la ecuación (5) despejamos "c":

c = -3·b - 2 (7)

Reemplazamos "c" en la (6):

7·b + 6 - 3·(-3·b - 2) = -1

7·b + 6 + 9·b + 6 = -1

16·b + 12 = -1

Despejamos "b":

16·b = -1 - 12

16·b = -13

b = -13/16

b = -	13
	16

Reemplazamos "b" en la (4):

a = 2·(-	13	) + 2
	16

a = -	13	+ 2
	8

a =	-13 + 2·8
	8

a =	-13 + 16
	8

a =	3
	8

Reemplazamos "a" y "b" en la (1):

a + b + c = 0

3	-	13	+ c = 0
8		16

2·3 - 13	+ c = 0
16

6 - 13	+ c = 0
16

-7	+ c = 0
16

Despejamos "c":

c =	7
	16

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a =	3
	8

b = -	13
	16

c =	7
	16

Verificar.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina