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Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio

Problema n° 6 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP10

Enunciado del ejercicio n° 6

Hallar "a" y "b" para que las expresiones x4 + 1 y (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b) sean iguales.

Solución

x4 + 1 = (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b)

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

x4 + 1 = x4 + a·x³ + b·x² - (a·x³ + a²·x² + a·b·x) + b·x² + a·b·x + b²

x4 + 1 = x4 + a·x³ + b·x² - a·x³ - a²·x² - a·b·x + b·x² + a·b·x + b²

Agrupamos los términos por potencias de "x":

x4 + 1 = x4 + a·x³ - a·x³ - a²·x² + b·x² + b·x² - a·b·x + a·b·x + b²

x4 + 1 = x4 - a²·x² + 2·b·x² + b²

x4 + 1 = x4 - (a² - 2·b)·x² + b²

Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:

x4 = x4 ⇒ 1 = 1

-(a² - 2·b)·x² = 0·x² ⇒ -a² + 2·b = 0 (1)

b² = 1 (2)

De la ecuación (2) despejamos "b":

b = ±1

b1 = 1

b2 = -1

De la ecuación (1) despejamos "a":

a² = 2·b

a = ±2·b (3)

Reemplazamos los valores de "b" en la (3):

a1 = ±2·1

a1 = ±2

a2 = ±2·(-1)

a2 = ±-2 ∉ ℜ

Luego, se descarta "b2":

b = b1 = 1

De "a1" tenemos dos resultados:

a1 = 2

a3 = -2

Verificamos los coeficientes en la igualdad:

x4 + 1 = x4 - (a² - 2·b)·x² + b²

Para a1 = 2:

x4 + 1 = x4 - [(2)² - 2·1]·x² + 1²

x4 + 1 = x4 - (2 - 2)·x² + 1

x4 + 1 = x4 - 0·x² + 1

x4 + 1 = x4 + 1

Para a1 = -2:

x4 + 1 = x4 - [(-2)² - 2·1]·x² + 1²

x4 + 1 = x4 - (2 - 2)·x² + 1

x4 + 1 = x4 - 0·x² + 1

x4 + 1 = x4 + 1

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = ±2

b = 1

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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