Problema nº 6 de cálculo de los coeficientes de un polinomio
Enunciado del ejercicio nº 6
Hallar "a" y "b" para que las expresiones x⁴ + 1 y (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b) sean iguales.
Solución
x⁴ + 1 = (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b)
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
x⁴ + 1 = x⁴ + a·x³ + b·x² - (a·x³ + a²·x² + a·b·x) + b·x² + a·b·x + b²
x⁴ + 1 = x⁴ + a·x³ + b·x² - a·x³ - a²·x² - a·b·x + b·x² + a·b·x + b²
Agrupamos los términos por potencias de "x":
x⁴ + 1 = x⁴ + a·x³ - a·x³ - a²·x² + b·x² + b·x² - a·b·x + a·b·x + b²
x⁴ + 1 = x⁴ - a²·x² + 2·b·x² + b²
x⁴ + 1 = x⁴ - (a² - 2·b)·x² + b²
Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:
x⁴ = x⁴ ⇒ 1 = 1
-(a² - 2·b)·x² = 0·x² ⇒ -a² + 2·b = 0 (1)
b² = 1 (2)
De la ecuación (2) despejamos "b":
b₁ = 1
b₂ = -1
De la ecuación (1) despejamos "a":
a² = 2·b
(3)
Reemplazamos los valores de "b" en la (3):
Luego, se descarta "b₂":
b = b₁ = 1
De "a₁" tenemos dos resultados:
Verificamos los coeficientes en la igualdad:
x⁴ + 1 = x⁴ - (a² - 2·b)·x² + b²
Para 
:
x⁴ + 1 = x⁴ - [(
)² - 2·1]·x² + 1²
x⁴ + 1 = x⁴ - (2 - 2)·x² + 1
x⁴ + 1 = x⁴ - 0·x² + 1
x⁴ + 1 = x⁴ + 1 ∎
Para 
:
x⁴ + 1 = x⁴ - [(-)² - 2·1]·x² + 1²
x⁴ + 1 = x⁴ - (2 - 2)·x² + 1
x⁴ + 1 = x⁴ - 0·x² + 1
x⁴ + 1 = x⁴ + 1 ∎
Resultado, los valores de los coeficientes son:
b = 1
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio