Problema n° 6 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP10
Enunciado del ejercicio n° 6
Hallar "a" y "b" para que las expresiones x4 + 1 y (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b) sean iguales.
Solución
x4 + 1 = (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b)
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
x4 + 1 = x4 + a·x³ + b·x² - (a·x³ + a²·x² + a·b·x) + b·x² + a·b·x + b²
x4 + 1 = x4 + a·x³ + b·x² - a·x³ - a²·x² - a·b·x + b·x² + a·b·x + b²
Agrupamos los términos por potencias de "x":
x4 + 1 = x4 + a·x³ - a·x³ - a²·x² + b·x² + b·x² - a·b·x + a·b·x + b²
x4 + 1 = x4 - a²·x² + 2·b·x² + b²
x4 + 1 = x4 - (a² - 2·b)·x² + b²
Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:
x4 = x4 ⇒ 1 = 1
-(a² - 2·b)·x² = 0·x² ⇒ -a² + 2·b = 0 (1)
b² = 1 (2)
De la ecuación (2) despejamos "b":
b = ±√1
b1 = 1
b2 = -1
De la ecuación (1) despejamos "a":
a² = 2·b
a = ±√2·b (3)
Reemplazamos los valores de "b" en la (3):
a1 = ±√2·1
a1 = ±√2
a2 = ±√2·(-1)
a2 = ±√-2 ∉ ℜ
Luego, se descarta "b2":
b = b1 = 1
De "a1" tenemos dos resultados:
a1 = √2
a3 = -√2
Verificamos los coeficientes en la igualdad:
x4 + 1 = x4 - (a² - 2·b)·x² + b²
Para a1 = √2:
x4 + 1 = x4 - [(√2)² - 2·1]·x² + 1²
x4 + 1 = x4 - (2 - 2)·x² + 1
x4 + 1 = x4 - 0·x² + 1
x4 + 1 = x4 + 1 ∎
Para a1 = -√2:
x4 + 1 = x4 - [(-√2)² - 2·1]·x² + 1²
x4 + 1 = x4 - (2 - 2)·x² + 1
x4 + 1 = x4 - 0·x² + 1
x4 + 1 = x4 + 1 ∎
Resultado, los valores de los coeficientes son:
a = ±√2
b = 1
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio