Problema n° 1 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP11
Enunciado del ejercicio n° 1
Determinar a, b, c y d para que la expresión:
a·(x + c)³ + b·(x + d)
Sea idéntica al polinomio:
P(x) = x³ + 6·x² + 15·x + 14
Deducir el resultado de las raíces de P(x).
Solución
Desarrollamos la expresión, comenzamos con el binomio al cubo:
a·(x + c)³ + b·(x + d) =
= a·(x³ + 3·x²·c + 3·x·c² + c³) + b·(x + d) =
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
= a·x³ + 3·a·c·x² + 3·a·c²·x + a·c³ + b·x + b·d =
Agrupamos los términos por potencias de "x":
= a·x³ + 3·a·c·x² + 3·a·c²·x + b·x + a·c³ + b·d =
= a·x³ + 3·a·c·x² + (3·a·c² + b)·x + (a·c³ + b·d)
Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:
a·x³ + 3·a·c·x² + (3·a·c² + b)·x + (a·c³ + b·d) = x³ + 6·x² + 15·x + 14
a = 1
3·a·c = 6 (1)
3·a·c² + b = 15 (2)
a·c³ + b·d = 14 (3)
Reemplazamos "a" en (1):
3·1·c = 6 ⇒ 3·c = 6
Despejamos "c":
c = 6/3
c = 2
Reemplazamos "a" y "c" en (2):
3·1·2² + b = 15 ⇒ 3·4 + b = 15 ⇒ 12 + b = 15
Despejamos "b":
b = 15 - 12
b = 3
Reemplazamos "a", "b" y "c" en (3):
1·2³ + 3·d = 14 ⇒ 8 + 3·d = 14
Despejamos "d":
3·d = 14 - 8 ⇒ 3·d = 6
d = 6/3
d = 2
Resultado, los valores de los coeficientes son:
a = 1
b = 3
c = 2
d = 2
De la expresión se deduce que las raíces son:
x = -c = -2
x = -d = -2
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio