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Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio

Problema n° 1 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP11

Enunciado del ejercicio n° 1

Determinar a, b, c y d para que la expresión:

a·(x + c)³ + b·(x + d)

Sea idéntica al polinomio:

P(x) = x³ + 6·x² + 15·x + 14

Deducir el resultado de las raíces de P(x).

Solución

Desarrollamos la expresión, comenzamos con el binomio al cubo:

a·(x + c)³ + b·(x + d) =

= a·(x³ + 3·x²·c + 3·x·c² + c³) + b·(x + d) =

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

= a·x³ + 3·a·c·x² + 3·a·c²·x + a·c³ + b·x + b·d =

Agrupamos los términos por potencias de "x":

= a·x³ + 3·a·c·x² + 3·a·c²·x + b·x + a·c³ + b·d =

= a·x³ + 3·a·c·x² + (3·a·c² + b)·x + (a·c³ + b·d)

Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:

a·x³ + 3·a·c·x² + (3·a·c² + b)·x + (a·c³ + b·d) = x³ + 6·x² + 15·x + 14

a = 1

3·a·c = 6 (1)

3·a·c² + b = 15 (2)

a·c³ + b·d = 14 (3)

Reemplazamos "a" en (1):

3·1·c = 6 ⇒ 3·c = 6

Despejamos "c":

c = 6/3

c = 2

Reemplazamos "a" y "c" en (2):

3·1·2² + b = 15 ⇒ 3·4 + b = 15 ⇒ 12 + b = 15

Despejamos "b":

b = 15 - 12

b = 3

Reemplazamos "a", "b" y "c" en (3):

1·2³ + 3·d = 14 ⇒ 8 + 3·d = 14

Despejamos "d":

3·d = 14 - 8 ⇒ 3·d = 6

d = 6/3

d = 2

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = 1

b = 3

c = 2

d = 2

De la expresión se deduce que las raíces son:

x = -c = -2

x = -d = -2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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