Guía nº 11 de ejercicios resueltos de polinomios. Teorema del Resto, valor numérico y coeficientes

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Problema nº 1

Determinar a, b, c y d para que la expresión:

a·(x + c)³ + b·(x + d)

Sea idéntica al polinomio:

P(x) = x³ + 6·x² + 15·x + 14

Deducir el resultado de las raíces de P(x).

• Respuesta: a = 1; b = 3; c = 2; d = 2

Problema nº 2

Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorizarlos:

a) x³ + x² - 14·x - 24, sabiendo que: -3 es raíz.

b) x⁴ + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6, sabiendo que: -1 es raíz doble.

• Respuesta:

a) x₁ = -3; x₂ = 4; x₃ = -2;

b) x_1,2 = -1; x₃ = 2; x₄ = -3

Problema nº 3

Hallar el polinomio de grado mínimo que tiene por raíz triple a -5, por raíz doble a 1, por raíz simple a 2, que es divisible por (x + 1) y tal que P(0) = 25

• Respuesta: P(x) = -⅒·x⁷ - 1,2·x⁶ - 3,1·x⁵ + 8,2·x⁴ + 25,7·x³ - 32·x² - 22,5·x + 25

Problema nº 4

Dados:

P(x) = x⁵ + a·x⁴ + 3·x² - 8·x + b ∧ Q(x) = x³ - 6·x + 2,

Hallar los números reales "a" y "b" de tal forma que "-1" sea raíz del cociente y del resto de la división de P(x) por Q(x).

• Respuesta: a = 7; b = -89

Problema nº 5

Determinar "a" de modo que al dividir P(x) = 2·x¹⁵ - a·x¹³ + 5·x⁸ + 2·a·x⁴ - 6 por x + 1, el resto sea igual a 2.

• Respuesta: a = 5/3

Problema nº 6

Determinar si el polinomio:

P(x) = 2·x¹⁸ + 4·x⁴ + x - 1

Es divisible por:

a) x + 1

b) x - 1

c) x² - 1

• Respuesta:

a) P(x) es divisible por x + 1;

b) P(x) no es divisible por x - 1;

c) P(x) no es divisible por x² - 1

Problema nº 7

Determinar los valores de "a" y "b" que satisfacen la ecuación:

• Respuesta:

Problema nº 8

Factorizar:

a) x⁴ - 7 =

b) x² - y² + 2·y - 1 =

c) (x + 1)⁴ - (x - 1)² =

d)

e) P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1, sabiendo que P(-1) = 0

f) (x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =

• Respuesta:

a) ;

b) (x - y + 1)·(x + y - 1);

c) x·(x² + x + 2)·(x + 3);

d) ;

e) (x - 1)·(x + 1)³;

f) (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)

Problema nº 9

Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones y simplificar si es posible:

a)

b)

c)

d)

• Respuesta:

a) ;

b) ;

c) no se puede racionalizar completamente el denominador;

d)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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