Problema n° 2 de cálculo de las raíces de un polinomio - TP11

Enunciado del ejercicio n° 2

Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorizarlos:

a) x³ + x² - 14·x - 24, sabiendo que: -3 es raíz.

b) x4 + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6, sabiendo que: -1 es raíz doble.

Solución

a)

P(x) = x³ + x² - 14·x - 24

x1 = -3

Si una de sus raíces es "-3" entonces el polinomio es divisible por "-3", aplicamos la regla de Ruffini:

 11-14-24
 
-3 -3624
 1-2-80

C(x) = x² - 2·x - 8

R = 0

P(x) = (x + 3)·(x² - 2·x - 8)

Hallamos las raíces para C(x), aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x2,3 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -2

c = -8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x2,3 =-(-2) ± (-2)² - 4·1·(-8)
2·1
x2,3 =2 ± 4 + 32
2
x2,3 =2 ± 36
2
x2,3 =2 ± 6
2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x2 =2 + 6
2
x2 =8
2

x2 = 4

x3 =2 - 6
2
x3 =-4
2

x3 = -2

Resultado, las raíces del polinomio son:

x1 = -3

x2 = 4

x3 = -2

El polinomio factorizado es:

x³ + x² - 14·x - 24 = (x + 3)·(x - 4)·(x + 2)

b)

P(x) = x4 + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6

x1,2 = -1

Si dos de sus raíces son "-1" entonces el polinomio es dos veces divisible por "-1", aplicamos la regla de Ruffini:

 13-3-11-6
 
-1 -1-256
 12-5-60

C(x) = x³ + 2·x² - 5·x - 6

R = 0

P(x) = (x + 1)·(x³ + 2·x² - 5·x - 6)

Dividimos C(x) aplicando la regla de Ruffini:

 12-5-6
 
-1 -1-16
 11-60

D(x) = x² + x - 6

R = 0

P(x) = (x + 1)²·(x² + x - 6)

Hallamos las raíces para D(x), aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x3,4 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 1

c = -6

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x3,4 =-1 ± 1² - 4·1·(-6)
2·1
x3,4 =-1 ± 1 + 24
2
x3,4 =-1 ± 25
2
x3,4 =-1 ± 5
2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x3 =-1 + 5
2
x3 =4
2

x3 = 2

x4 =-1 - 5
2
x4 =-6
2

x4 = -3

Resultado, las raíces del polinomio son:

x1,2 = -1

x3 = 2

x4 = -3

El polinomio factorizado es:

x4 + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6 = (x + 1)²·(x - 2)·(x + 3)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular las raíces de un polinomio y factorizarlo

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