Ejemplo, cómo calcular las raíces de un polinomio y factorizarlo

Problema n° 2 de cálculo de las raíces de un polinomio - TP11

Enunciado del ejercicio n° 2

Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorizarlos:

a) x³ + x² - 14·x - 24, sabiendo que: -3 es raíz.

b) x⁴ + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6, sabiendo que: -1 es raíz doble.

Solución

a)

P(x) = x³ + x² - 14·x - 24

x₁ = -3

Si una de sus raíces es "-3" entonces el polinomio es divisible por "-3", aplicamos la regla de Ruffini:

C(x) = x² - 2·x - 8

R = 0

P(x) = (x + 3)·(x² - 2·x - 8)

Hallamos las raíces para C(x), aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = -2

c = -8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₂ = 4

x₃ = -2

Resultado, las raíces del polinomio son:

x₁ = -3

x₂ = 4

x₃ = -2

El polinomio factorizado es:

x³ + x² - 14·x - 24 = (x + 3)·(x - 4)·(x + 2)

b)

P(x) = x⁴ + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6

x_1,2 = -1

Si dos de sus raíces son "-1" entonces el polinomio es dos veces divisible por "-1", aplicamos la regla de Ruffini:

C(x) = x³ + 2·x² - 5·x - 6

R = 0

P(x) = (x + 1)·(x³ + 2·x² - 5·x - 6)

Dividimos C(x) aplicando la regla de Ruffini:

D(x) = x² + x - 6

R = 0

P(x) = (x + 1)²·(x² + x - 6)

Hallamos las raíces para D(x), aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = 1

c = -6

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₃ = 2

x₄ = -3

Resultado, las raíces del polinomio son:

x_1,2 = -1

x₃ = 2

x₄ = -3

El polinomio factorizado es:

x⁴ + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6 = (x + 1)²·(x - 2)·(x + 3)

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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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