Problema n° 3 de construcción de polinomios dadas las raíces - TP11

Enunciado del ejercicio n° 3

Hallar el polinomio de grado mínimo que tiene por raíz triple a -5, por raíz doble a 1, por raíz simple a 2, que es divisible por (x + 1) y tal que P(0) = 25

Solución

x_1,2,3 = -5

x_4,5 = 1

x₆ = 2

Es divisible por (x + 1) ⇒ x₇ = -1

Formamos el polinomio como producto de binomios según sus raíces:

P(x) = h·(x + 5)·(x + 5)·(x + 5)·(x - 1)·(x - 1)·(x - 2)·(x + 1)

El coeficiente "h" se utiliza para lograr que P(0) = 25

P(x) = h·(x + 5)³·(x - 1)²·(x - 2)·(x + 1) = 25

Desarrollamos el producto:

P(x) = h·(x³ + 3·x²·5 + 3·x·5² + 5³)·(x² - 2·x·1 + 1²)·(x·x + 1·x - 2·x - 2·1)

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

P(x) = h·(x³ + 15·x² + 75·x + 125)·(x² - 2·x + 1)·(x² + x - 2·x - 2)

P(x) = h·(x³ + 15·x² + 75·x + 125)·(x² - 2·x + 1)·(x² - x - 2)

P(x) = h·(x⁵ - 2·x⁴ + x³ + 15·x⁴ - 30·x³ + 15·x² + 75·x³ - 150·x² + 75·x + 125·x² - 250·x + 125)·(x² - x - 2)

Agrupamos y sumamos los términos por las potencias de "x":

P(x) = h·(x⁵ + 13·x⁴ + 46·x³ - 10·x² - 175·x + 125)·(x² - x - 2)

P(x) = h·(x⁷ + 13·x⁶ + 46·x⁵ - 10·x⁴ - 175·x³ + 125·x² - x⁶ - 13·x⁵ - 46·x⁴ + 10·x³ + 175·x² - 125·x - 2·x⁵ - 26·x⁴ - 92·x³ + 20·x² + 350·x - 250)

P(x) = h·(x⁷ + 13·x⁶ - x⁶ + 46·x⁵ - 13·x⁵ - 2·x⁵ - 10·x⁴ - 46·x⁴ - 26·x⁴ - 175·x³ + 10·x³ - 92·x³ + 125·x² + 175·x² + 20·x² - 125·x + 350·x - 250)

P(x) = h·(x⁷ + 12·x⁶ + 31·x⁵ - 82·x⁴ - 257·x³ + 320·x² + 225·x - 250)

Para x = 0:

P(0) = h·(0⁷ + 12·0⁶ + 31·0⁵ - 82·0⁴ - 257·0³ + 320·0² + 225·0 - 250)

P(0) = h·(-250) = 25

Despejamos "h":

h·(-250) = 25

h = -25/250

h = -⅒

Reemplazamos "h" en el polinomio:

P(x) = -⅒·(x⁷ + 12·x⁶ + 31·x⁵ - 82·x⁴ - 257·x³ + 320·x² + 225·x - 250)

P(x) = -⅒·x⁷ + (-⅒)·12·x⁶ + (-⅒)·31·x⁵ - (-⅒)·82·x⁴ - (-⅒)·257·x³ + (-⅒)·320·x² + (-⅒)·225·x - (-⅒)·250

Resultado, el polinomio buscado es:

P(x) = -⅒·x⁷ - 1,2·x⁶ - 3,1·x⁵ + 8,2·x⁴ + 25,7·x³ - 32·x² - 22,5·x + 25

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo construir un polinomio a partir de las raíces