Problema n° 3 de construcción de polinomios dadas las raíces - TP11

Enunciado del ejercicio n° 3

Hallar el polinomio de grado mínimo que tiene por raíz triple a -5, por raíz doble a 1, por raíz simple a 2, que es divisible por (x + 1) y tal que P(0) = 25

Solución

x1,2,3 = -5

x4,5 = 1

x6 = 2

Es divisible por (x + 1) ⇒ x7 = -1

Formamos el polinomio como producto de binomios según sus raíces:

P(x) = h·(x + 5)·(x + 5)·(x + 5)·(x - 1)·(x - 1)·(x - 2)·(x + 1)

El coeficiente "h" se utiliza para lograr que P(0) = 25

P(x) = h·(x + 5)³·(x - 1)²·(x - 2)·(x + 1) = 25

Desarrollamos el producto:

P(x) = h·(x³ + 3·x²·5 + 3·x·5² + 5³)·(x² - 2·x·1 + 1²)·(x·x + 1·x - 2·x - 2·1)

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

P(x) = h·(x³ + 15·x² + 75·x + 125)·(x² - 2·x + 1)·(x² + x - 2·x - 2)

P(x) = h·(x³ + 15·x² + 75·x + 125)·(x² - 2·x + 1)·(x² - x - 2)

P(x) = h·(x5 - 2·x4 + x³ + 15·x4 - 30·x³ + 15·x² + 75·x³ - 150·x² + 75·x + 125·x² - 250·x + 125)·(x² - x - 2)

Agrupamos y sumamos los términos por las potencias de "x":

P(x) = h·(x5 + 13·x4 + 46·x³ - 10·x² - 175·x + 125)·(x² - x - 2)

P(x) = h·(x7 + 13·x6 + 46·x5 - 10·x4 - 175·x³ + 125·x² - x6 - 13·x5 - 46·x4 + 10·x³ + 175·x² - 125·x - 2·x5 - 26·x4 - 92·x³ + 20·x² + 350·x - 250)

P(x) = h·(x7 + 13·x6 - x6 + 46·x5 - 13·x5 - 2·x5 - 10·x4 - 46·x4 - 26·x4 - 175·x³ + 10·x³ - 92·x³ + 125·x² + 175·x² + 20·x² - 125·x + 350·x - 250)

P(x) = h·(x7 + 12·x6 + 31·x5 - 82·x4 - 257·x³ + 320·x² + 225·x - 250)

Para x = 0:

P(0) = h·(07 + 12·06 + 31·05 - 82·04 - 257·0³ + 320·0² + 225·0 - 250)

P(0) = h·(-250) = 25

Despejamos "h":

h·(-250) = 25

h = -25/250

h = -⅒

Reemplazamos "h" en el polinomio:

P(x) = -⅒·(x7 + 12·x6 + 31·x5 - 82·x4 - 257·x³ + 320·x² + 225·x - 250)

P(x) = -⅒·x7 + (-⅒)·12·x6 + (-⅒)·31·x5 - (-⅒)·82·x4 - (-⅒)·257·x³ + (-⅒)·320·x² + (-⅒)·225·x - (-⅒)·250

Resultado, el polinomio buscado es:

P(x) = -⅒·x7 - 1,2·x6 - 3,1·x5 + 8,2·x4 + 25,7·x³ - 32·x² - 22,5·x + 25

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo construir un polinomio a partir de las raíces

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