Problema n° 4 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP11
Enunciado del ejercicio n° 4
Dados:
P(x) = x5 + a·x4 + 3·x² - 8·x + b ∧ Q(x) = x³ - 6·x + 2,
Hallar los números reales "a" y "b" de tal forma que "-1" sea raíz del cociente y del resto de la división de P(x) por Q(x).
Solución
| P(x) | = C(x) + R(x) |
| Q(x) |
Dividimos:
| x5 | a·x4 | 0 | 3·x² | -8·x | b | x³ - 6·x + 2 |
| -x5 | 0 | 6·x³ | -2·x² | x² + a·x + 6 | ||
| 0 | a·x4 | 6·x³ | x² | |||
| -a·x4 | 0 | 6·a·x² | -2·a·x | |||
| 0 | 6·x³ | (6·a + 1)·x² | (-8 - 2·a)·x | |||
| -6·x³ | 36·x² | 0 | -12 | |||
| 0 | (6·a + 37)·x² | (-8 - 2·a)·x | b - 12 |
C(x) = x² + a·x + 6
R(x) = (6·a + 37)·x² + (-8 - 2·a)·x + b - 12
R(x) = (6·a + 37)·x² - 2·(4 + a)·x + b - 12
Si "-1" es raíz de C(x) ⇒ C(-1) = 0
C(-1) = (-1)² + a·(-1) + 6 = 0
1 - a + 6 = 0 ⇒ 7 - a = 0
Despejamos "a":
a = 7
Si "-1" es raíz de R(x) ⇒ R(-1) = 0
R(-1) = (6·a + 37)·(-1)² - 2·(4 + a)·(-1) + b - 12 = 0
(6·a + 37)·1 + 2·(4 + a)·1 + b - 12 = 0
6·a + 37 + 8 + 2·a + b - 12 = 0
8·a + 33 + b = 0
Reemplazamos por el valor hallado de "a":
8·7 + 33 + b = 0
56 + 33 + b = 0 ⇒ 89 + b = 0
Despejamos "b":
b = -89
Queda:
C(x) = x² + 7·x + 6
El polinomio factorizado es:
C(x) = (x + 1)·(x + 6)
R(x) = (6·7 + 37)·x² + (-8 - 2·7)·x + (-89) - 12
R(x) = (42 + 37)·x² + (-8 - 14)·x - 89 - 12
R(x) = 79·x² - 22·x - 101
El polinomio factorizado es:
R(x) = (x + 1)·(x - 1,28)
P(x) = x5 + 7·x4 + 3·x² - 8·x + (-89)
P(x) = x5 + 7·x4 + 3·x² - 8·x - 89
Resultado, los valores de los coeficientes son:
a = 7
b = -89
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio