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Enunciado del ejercicio nº 4

Dados:

P(x) = x⁵ + a·x⁴ + 3·x² - 8·x + b ∧ Q(x) = x³ - 6·x + 2,

Hallar los números reales "a" y "b" de tal forma que "-1" sea raíz del cociente y del resto de la división de P(x) por Q(x).

Solución

Dividimos:

C(x) = x² + a·x + 6

R(x) = (6·a + 37)·x² + (-8 - 2·a)·x + b - 12

R(x) = (6·a + 37)·x² - 2·(4 + a)·x + b - 12

Si "-1" es raíz de C(x) ⇒ C(-1) = 0

C(-1) = (-1)² + a·(-1) + 6 = 0

1 - a + 6 = 0 ⇒ 7 - a = 0

Despejamos "a":

a = 7

Si "-1" es raíz de R(x) ⇒ R(-1) = 0

R(-1) = (6·a + 37)·(-1)² - 2·(4 + a)·(-1) + b - 12 = 0

(6·a + 37)·1 + 2·(4 + a)·1 + b - 12 = 0

6·a + 37 + 8 + 2·a + b - 12 = 0

8·a + 33 + b = 0

Reemplazamos por el valor hallado de "a":

8·7 + 33 + b = 0

56 + 33 + b = 0 ⇒ 89 + b = 0

Despejamos "b":

b = -89

Queda:

C(x) = x² + 7·x + 6

El polinomio factorizado es:

C(x) = (x + 1)·(x + 6)

R(x) = (6·7 + 37)·x² + (-8 - 2·7)·x + (-89) - 12

R(x) = (42 + 37)·x² + (-8 - 14)·x - 89 - 12

R(x) = 79·x² - 22·x - 101

El polinomio factorizado es:

R(x) = (x + 1)·(x - 1,28)

P(x) = x⁵ + 7·x⁴ + 3·x² - 8·x + (-89)

P(x) = x⁵ + 7·x⁴ + 3·x² - 8·x - 89

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = 7

b = -89

Resolvió: Warning: Undefined variable $author in /home/a0120620/public_html/matematica/polinomios/resueltos/tp11-polinomios-problema-04.php on line 104 . Argentina