Problema n° 4 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP11

Enunciado del ejercicio n° 4

Dados:

P(x) = x5 + a·x4 + 3·x² - 8·x + b ∧ Q(x) = x³ - 6·x + 2,

Hallar los números reales "a" y "b" de tal forma que "-1" sea raíz del cociente y del resto de la división de P(x) por Q(x).

Solución

P(x)= C(x) + R(x)
Q(x)

Dividimos:

x5a·x403·x²-8·xbx³ - 6·x + 2
-x506·x³-2·x² x² + a·x + 6
0a·x46·x³
-a·x406·a·x²-2·a·x
06·x³(6·a + 1)·x²(-8 - 2·a)·x
 -6·x³36·x²0-12
0(6·a + 37)·x²(-8 - 2·a)·xb - 12

C(x) = x² + a·x + 6

R(x) = (6·a + 37)·x² + (-8 - 2·a)·x + b - 12

R(x) = (6·a + 37)·x² - 2·(4 + a)·x + b - 12

Si "-1" es raíz de C(x) ⇒ C(-1) = 0

C(-1) = (-1)² + a·(-1) + 6 = 0

1 - a + 6 = 0 ⇒ 7 - a = 0

Despejamos "a":

a = 7

Si "-1" es raíz de R(x) ⇒ R(-1) = 0

R(-1) = (6·a + 37)·(-1)² - 2·(4 + a)·(-1) + b - 12 = 0

(6·a + 37)·1 + 2·(4 + a)·1 + b - 12 = 0

6·a + 37 + 8 + 2·a + b - 12 = 0

8·a + 33 + b = 0

Reemplazamos por el valor hallado de "a":

8·7 + 33 + b = 0

56 + 33 + b = 0 ⇒ 89 + b = 0

Despejamos "b":

b = -89

Queda:

C(x) = x² + 7·x + 6

El polinomio factorizado es:

C(x) = (x + 1)·(x + 6)

R(x) = (6·7 + 37)·x² + (-8 - 2·7)·x + (-89) - 12

R(x) = (42 + 37)·x² + (-8 - 14)·x - 89 - 12

R(x) = 79·x² - 22·x - 101

El polinomio factorizado es:

R(x) = (x + 1)·(x - 1,28)

P(x) = x5 + 7·x4 + 3·x² - 8·x + (-89)

P(x) = x5 + 7·x4 + 3·x² - 8·x - 89

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = 7

b = -89

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio

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