Problema n° 8 de factorización de polinomios - TP11

Enunciado del ejercicio n° 8

Factorizar:

a) x4 - 7 =

b) x² - y² + 2·y - 1 =

c) (x + 1)4 - (x - 1)² =

d) (x)6 + (x)³ =
yy

e) P(x) = x4 + 2·x³ - 2·x - 1, sabiendo que P(-1) = 0

f) (x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =

Solución

a)

x4 - 7 =

Lo podemos tratar como una diferencia de potencias de igual grado con exponente par o como a una diferencia de cuadrados.

= (x²)² - (7)² =

= (x² - 7)·(x² + 7) =

Al primer factor lo tratamos como una diferencia de cuadrados:

= (x - 7)·(x + 7)·(x² + 7)

Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:

x4 - 7 = (x - 7)·(x + 7)·(x² + 7)

b)

x² - y² + 2·y - 1 =

Extraemos factor común en grupos "-1":

= x² - (y² - 2·y + 1) =

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto:

= x² - (y - 1)² =

Nos queda una diferencia de cuadrados:

= [x - (y - 1)]·[x + (y - 1)] =

Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:

x² - y² + 2·y - 1 = (x - y + 1)·(x + y - 1)

c)

(x + 1)4 - (x - 1)² =

Nos queda una diferencia de cuadrados:

= [(x + 1)²]² - (x - 1)² =

= [(x + 1)² - (x - 1)]·[(x + 1)² + (x - 1)] =

Desarrollamos los binomios al cuadrado:

= [(x² + 2·x + 1) - (x - 1)]·[(x² + 2·x + 1) + (x - 1)] =

Quitamos los paréntesis:

= (x² + 2·x + 1 - x + 1)·(x² + 2·x + 1 + x - 1) =

Resolvemos:

= (x² + x + 2)·(x² + 3·x) =

Del segundo factor extraemos factor común "x":

= (x² + x + 2)·x·(x + 3) =

Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:

(x + 1)4 - (x - 1)² = x·(x² + x + 2)·(x + 3)

d)

(x)6 + (x)³ =
yy

Extraemos factor común x³ del numerador y factor común y³ del denominador:

=·(+ 1) =

Sumamos las fracciones:

=·(x² + y³) =

Expresamos el resultado, la expresión algebraica factorizada es:

(x)6 + (x)³ =x³·(x² + y³)
yyy6

e)

P(x) = x4 + 2·x³ - 2·x - 1

Si P(-1) = 0 ⇒ P(x) es divisible por x + 1

Dividimos aplicamos la regla de Ruffini:

 120-2-1
 
-1 -1-111
 11-1-10

C(x) = x³ + x² - x - 1

R = 0

P(x) = (x + 1)·(x³ + x² - x - 1)

Calculamos el valor numérico de C(1) = 0 ⇒ P(1) = 0

Dividimos C(x) aplicamos la regla de Ruffini:

 11-1-1
 
1 121
 1210

D(x) = x² + 2·x + 1

R = 0

P(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x² + 2·x + 1)

D(x) es un trinomio cuadrado perfecto:

D(x) = x² + 2·x + 1 = (x + 1)²

P(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x + 1)²

Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:

P(x) = x4 + 2·x³ - 2·x - 1 = (x - 1)·(x + 1)³

f)

(x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =

Del primer factor extraemos factor común "x":

= x·(x + 1)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =

x² + x + ¼ = (x + ½)² (trinomio cuadrado perfecto)

= x·(x + 1)·(x + ½)² + (x + ½)²·(x² - 1) =

El último factor es una diferencia de cuadrados:

= x·(x + 1)·(x + ½)² + (x + ½)²·(x - 1)·(x + 1) =

Extraemos factor común (x + 1)·(x + ½)²:

= (x + 1)·(x + ½)²·(x + x - 1) =

= (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)

Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:

(x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) = (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo factorizar polinomios

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