Problema n° 8 de factorización de polinomios - TP11
Enunciado del ejercicio n° 8
Factorizar:
a) x⁴ - 7 =
b) x² - y² + 2·y - 1 =
c) (x + 1)⁴ - (x - 1)² =
| d) ( | x | )⁶ + ( | x | )³ = |
| y | y |
e) P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1, sabiendo que P(-1) = 0
f) (x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
Solución
a)
x⁴ - 7 =
Lo podemos tratar como una diferencia de potencias de igual grado con exponente par o como a una diferencia de cuadrados.
= (x²)² - (√7)² =
= (x² - √7)·(x² + √7) =
Al primer factor lo tratamos como una diferencia de cuadrados:
= (x - ∜7)·(x + ∜7)·(x² + √7)
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
x⁴ - 7 = (x - ∜7)·(x + ∜7)·(x² + √7)
b)
x² - y² + 2·y - 1 =
Extraemos factor común en grupos "-1":
= x² - (y² - 2·y + 1) =
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto:
= x² - (y - 1)² =
Nos queda una diferencia de cuadrados:
= [x - (y - 1)]·[x + (y - 1)] =
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
x² - y² + 2·y - 1 = (x - y + 1)·(x + y - 1)
c)
(x + 1)⁴ - (x - 1)² =
Nos queda una diferencia de cuadrados:
= [(x + 1)²]² - (x - 1)² =
= [(x + 1)² - (x - 1)]·[(x + 1)² + (x - 1)] =
Desarrollamos los binomios al cuadrado:
= [(x² + 2·x + 1) - (x - 1)]·[(x² + 2·x + 1) + (x - 1)] =
Quitamos los paréntesis:
= (x² + 2·x + 1 - x + 1)·(x² + 2·x + 1 + x - 1) =
Resolvemos:
= (x² + x + 2)·(x² + 3·x) =
Del segundo factor extraemos factor común "x":
= (x² + x + 2)·x·(x + 3) =
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
(x + 1)⁴ - (x - 1)² = x·(x² + x + 2)·(x + 3)
d)
| ( | x | )⁶ + ( | x | )³ = |
| y | y |
Extraemos factor común x³ del numerador y factor común y³ del denominador:
| = | x³ | ·( | x³ | + 1) = |
| y³ | y³ |
Sumamos las fracciones:
| = | x³ | ·( | x² + y³ | ) = |
| y³ | y³ |
Expresamos el resultado, la expresión algebraica factorizada es:
| ( | x | )⁶ + ( | x | )³ = | x³·(x² + y³) |
| y | y | y⁶ |
e)
P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1
Si P(-1) = 0 ⇒ P(x) es divisible por x + 1
Dividimos aplicamos la regla de Ruffini:
| 1 | 2 | 0 | -2 | -1 | |
| -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | -1 | -1 | 0 | |
C(x) = x³ + x² - x - 1
R = 0
P(x) = (x + 1)·(x³ + x² - x - 1)
Calculamos el valor numérico de C(1) = 0 ⇒ P(1) = 0
Dividimos C(x) aplicamos la regla de Ruffini:
| 1 | 1 | -1 | -1 | |
| 1 | 1 | 2 | 1 | |
| 1 | 2 | 1 | 0 | |
D(x) = x² + 2·x + 1
R = 0
P(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x² + 2·x + 1)
D(x) es un trinomio cuadrado perfecto:
D(x) = x² + 2·x + 1 = (x + 1)²
P(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x + 1)²
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1 = (x - 1)·(x + 1)³
f)
(x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
Del primer factor extraemos factor común "x":
= x·(x + 1)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
x² + x + ¼ = (x + ½)² (trinomio cuadrado perfecto)
= x·(x + 1)·(x + ½)² + (x + ½)²·(x² - 1) =
El último factor es una diferencia de cuadrados:
= x·(x + 1)·(x + ½)² + (x + ½)²·(x - 1)·(x + 1) =
Extraemos factor común (x + 1)·(x + ½)²:
= (x + 1)·(x + ½)²·(x + x - 1) =
= (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
(x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) = (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo factorizar polinomios