Problema nº 8 de factorización de polinomios
Enunciado del ejercicio nº 8
Factorizar:
a) x⁴ - 7 =
b) x² - y² + 2·y - 1 =
c) (x + 1)⁴ - (x - 1)² =
d) 
e) P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1, sabiendo que P(-1) = 0
f) (x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
Solución
a)
x⁴ - 7 =
Lo podemos tratar como una diferencia de potencias de igual grado con exponente par o como a una diferencia de cuadrados.
Al primer factor lo tratamos como una diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
b)
x² - y² + 2·y - 1 =
Extraemos factor común en grupos "-1":
= x² - (y² - 2·y + 1) =
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto:
= x² - (y - 1)² =
Nos queda una diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):
= [x - (y - 1)]·[x + (y - 1)] =
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
x² - y² + 2·y - 1 = (x - y + 1)·(x + y - 1)
c)
(x + 1)⁴ - (x - 1)² =
Nos queda una diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):
= [(x + 1)²]² - (x - 1)² =
= [(x + 1)² - (x - 1)]·[(x + 1)² + (x - 1)] =
Desarrollamos los binomios al cuadrado:
= [(x² + 2·x + 1) - (x - 1)]·[(x² + 2·x + 1) + (x - 1)] =
Quitamos los paréntesis:
= (x² + 2·x + 1 - x + 1)·(x² + 2·x + 1 + x - 1) =
Resolvemos:
= (x² + x + 2)·(x² + 3·x) =
Del segundo factor extraemos factor común "x":
= (x² + x + 2)·x·(x + 3) =
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
(x + 1)⁴ - (x - 1)² = x·(x² + x + 2)·(x + 3)
d)
Extraemos factor común x³ del numerador y factor común y³ del denominador:
Sumamos las fracciones:
Expresamos el resultado, la expresión algebraica factorizada es:
e)
P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1
Si P(-1) = 0 ⇒ P(x) es divisible por x + 1
Dividimos aplicamos la regla de Ruffini:
C(x) = x³ + x² - x - 1
R = 0
P(x) = (x + 1)·(x³ + x² - x - 1)
Calculamos el valor numérico de C(1) = 0 ⇒ P(1) = 0
Dividimos C(x) aplicamos la regla de Ruffini:
D(x) = x² + 2·x + 1
R = 0
P(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x² + 2·x + 1)
D(x) es un trinomio cuadrado perfecto:
D(x) = x² + 2·x + 1 = (x + 1)²
P(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x + 1)²
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1 = (x - 1)·(x + 1)³
f)
(x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
Del primer factor extraemos factor común "x":
= x·(x + 1)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
x² + x + ¼ = (x + ½)² (trinomio cuadrado perfecto)
= x·(x + 1)·(x + ½)² + (x + ½)²·(x² - 1) =
El último factor es una diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):
= x·(x + 1)·(x + ½)² + (x + ½)²·(x - 1)·(x + 1) =
Extraemos factor común (x + 1)·(x + ½)²:
= (x + 1)·(x + ½)²·(x + x - 1) =
= (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)
Expresamos el resultado, el polinomio factorizado es:
(x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) = (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar polinomios