Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales
Problema n° 1-a de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas
Enunciado del ejercicio n° 1-a
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10
Solución
I) Igualación
3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | 3·x + 16 |
| 2 |
| y = | -5·x + 10 |
| 4 |
Igualamos y resolvemos:
| 3·x + 16 | = | -5·x + 10 |
| 2 | 4 |
4·(3·x + 16) = 2·(-5·x + 10)
2·(3·x + 16) = -5·x + 10
6·x + 32 = -5·x + 10
Despejamos "x":
6·x + 5·x = -32 + 10
| x = | -22 |
| 11 |
x = -2
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
| y = | 3·(-2) + 16 |
| 2 |
| y = | -6 + 16 |
| 2 |
| y = | 10 |
| 2 |
y = 5
Resultado aplicando el método de igualación:
x = -2
y = 5
II) Sustitución
3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10
Despejamos "y" de la primera ecuación:
| y = | 3·x + 16 |
| 2 |
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
| 5·x + | 4·(3·x + 16) | = 10 |
| 2 |
Resolvemos:
5·x + 2·(3·x + 16) = 10
5·x + 6·x + 32 = 10
Despejamos "x":
11·x = 10 - 32
11·x = -22
| x = | -22 |
| 11 |
x = -2
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
| y = | 3·(-2) + 16 |
| 2 |
| y = | -6 + 16 |
| 2 |
| y = | 10 |
| 2 |
y = 5
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = -2
y = 5
III) Reducción
3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la sumamos a la segunda:
2·(3·x - 2·y) = 2·(-16)
5·x + 4·y = 10
6·x - 4·y = -32
5·x + 4·y = 10
11·x = -22
Despejamos "x":
| x = | -22 |
| 11 |
x = -2
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
5·x + 4·y = 10
5·(-2) + 4·y = 10
-10 + 4·y = 10
4·y = 10 + 10
4·y = 20
| y = | 20 |
| 4 |
y = 5
Resultado aplicando el método de reducción:
x = -2
y = 5
IV) Determinantes
3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10
| x = | Δx |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 3 | -2 |
| 5 | 4 |
Δ = 3·4 - (-2)·5
Δ = 12 + 10
Δ = 22
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δx = | -16 | -2 |
| 10 | 4 |
Δx = (-16)·4 - (-2)·10
Δx = -64 + 20
Δx = -44
| Δy = | 3 | -16 |
| 5 | 10 |
Δy = 3·10 - (-16)·5
Δy = 30 + 80
Δy = 110
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δx |
| Δ |
| x = | -44 |
| 22 |
x = -2
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 110 |
| 22 |
y = 5
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = -2
y = 5
Resultado, el punto de intersección es:
P(-2; 5)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | 3·x | + | 16 |
| 2 | 2 |
| y = | 3·x | + 8 |
| 2 |
| m1 = | 3 |
| 2 |
b1 = 8
| y = | -5·x | + | 10 |
| 4 | 4 |
| y = | -5·x | + | 5 |
| 4 | 2 |
| m2 = - | 5 |
| 4 |
| b2 = | 5 |
| 2 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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