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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 1-b de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Solución

I) Igualación

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y = 4·x - 12

y =-2·x - 5
3

Igualamos y resolvemos:

4·x - 12 =-2·x - 5
3

3·(4·x - 12) = -2·x - 5

12·x - 36 = -2·x - 5

Despejamos "x":

12·x + 2·x = 36 - 5

14·x = 31

x =31
14

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y = 4·x - 12

y = 4·31- 12
14
y = 2·31- 12
7
y =62- 12
7
y =62 - 12·7
7
y =62 - 84
7
y = -22
7

Resultado aplicando el método de igualación:

x =31
14
y = -22
7

II) Sustitución

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y = 4·x - 12

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

2·x + 3·(4·x - 12) = -5

Resolvemos:

2·x + 12·x - 36 = -5

14·x - 36 = -5

Despejamos "x":

14·x = 36 - 5

14·x = 31

x =31
14

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

2·x + 3·y = -5

31+ 3·y = -5
14
31+ 3·y = -5
7
3·y =-31- 5
7
3·y =-31 - 5·7
7
3·y =-31 - 35
7
y =-66
3·7
y = -22
7

Resultado aplicando el método de sustitución:

x =31
14
y = -22
7

III) Reducción

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y la sumamos a la primera:

4·x - y = 12
-2·(2·x + 3·y) = -2·(-5)

4·x - y = 12
-4·x - 6·y = 10

- y - 6·y = 12 + 10

-7·y = 22

Despejamos "y":

y = -22
7

Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":

4·x - y = 12

4·x - (-22) = 12
7
4·x +22= 12
7
4·x = 12 -22
7
4·x =12·7 - 22
7
4·x =84 - 22
7
x =62
4·7
x =62
28
x =31
14

Resultado aplicando el método de reducción:

x =31
14
y = -22
7

IV) Determinantes

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

x =Δx
Δ
y =Δy
Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =4-1
23

Δ = 4·3 - (-1)·2

Δ = 12 + 2

Δ = 14

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δx =12-1
-53

Δx = 12·3 - (-1)·(-5)

Δx = 36 - 5

Δx = 31

Δy =412
2-5

Δy = 4·(-5) - 12·2

Δy = -20 - 24

Δy = -44

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =Δx
Δ
x =31
14
y =Δy
Δ
y =-44
14
y =-22
7

Resultado aplicando el método de determinantes:

x =31
14
y =-22
7

Resultado, el punto de intersección es:

P(31;-22)
147

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y = 4·x - 12

m1 =4
1

b1 = -12

y = -2·x-5
33
m2 = -2
3
b2 = -5
3

Gráfica de las rectas

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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