Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 1-b de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Solución

I) Igualación

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y = 4·x - 12

y =	-2·x - 5
	3

Igualamos y resolvemos:

4·x - 12 =	-2·x - 5
	3

3·(4·x - 12) = -2·x - 5

12·x - 36 = -2·x - 5

Despejamos "x":

12·x + 2·x = 36 - 5

14·x = 31

x =	31
	14

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y = 4·x - 12

y = 4·	31	- 12
	14

y = 2·	31	- 12
	7

y =	62	- 12
	7

y =	62 - 12·7
	7

y =	62 - 84
	7

y = -	22
	7

Resultado aplicando el método de igualación:

x =	31
	14

y = -	22
	7

II) Sustitución

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y = 4·x - 12

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

2·x + 3·(4·x - 12) = -5

Resolvemos:

2·x + 12·x - 36 = -5

14·x - 36 = -5

Despejamos "x":

14·x = 36 - 5

14·x = 31

x =	31
	14

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

2·x + 3·y = -5

2·	31	+ 3·y = -5
	14

31	+ 3·y = -5
7

3·y =	-31	- 5
	7

3·y =	-31 - 5·7
	7

3·y =	-31 - 35
	7

y =	-66
	3·7

y = -	22
	7

Resultado aplicando el método de sustitución:

x =	31
	14

y = -	22
	7

III) Reducción

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y la sumamos a la primera:

4·x - y = 12
-2·(2·x + 3·y) = -2·(-5)

4·x - y = 12
-4·x - 6·y = 10

- y - 6·y = 12 + 10

-7·y = 22

Despejamos "y":

y = -	22
	7

Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":

4·x - y = 12

4·x - (-	22	) = 12
	7

4·x +	22	= 12
	7

4·x = 12 -	22
	7

4·x =	12·7 - 22
	7

4·x =	84 - 22
	7

x =	62
	4·7

x =	62
	28

x =	31
	14

Resultado aplicando el método de reducción:

x =	31
	14

y = -	22
	7

IV) Determinantes

4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5

x =	Δ_x
	Δ

y =	Δ_y
	Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =	4	-1
Δ =	2	3

Δ = 4·3 - (-1)·2

Δ = 12 + 2

Δ = 14

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δ_x =	12	-1
Δ_x =	-5	3

Δ_x = 12·3 - (-1)·(-5)

Δ_x = 36 - 5

Δ_x = 31

Δ_y =	4	12
Δ_y =	2	-5

Δ_y = 4·(-5) - 12·2

Δ_y = -20 - 24

Δ_y = -44

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =	Δ_x
	Δ

x =	31
	14

y =	Δ_y
	Δ

y =	-44
	14

y =	-22
	7

Resultado aplicando el método de determinantes:

x =	31
	14

y =	-22
	7

Resultado, el punto de intersección es:

P(	31	;	-22	)
	14		7

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y = 4·x - 12

m₁ =	4
	1

b₁ = -12

y = -	2·x	-	5
	3		3

m₂ = -	2
	3

b₂ = -	5
	3

Gráfica de las rectas

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

🔍
✉ f t