Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales
Problema n° 1-b de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1-b
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5
Solución
I) Igualación
4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
y = 4·x - 12
| y = | -2·x - 5 |
| 3 |
Igualamos y resolvemos:
| 4·x - 12 = | -2·x - 5 |
| 3 |
3·(4·x - 12) = -2·x - 5
12·x - 36 = -2·x - 5
Despejamos "x":
12·x + 2·x = 36 - 5
14·x = 31
| x = | 31 |
| 14 |
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
y = 4·x - 12
| y = 4· | 31 | - 12 |
| 14 |
| y = 2· | 31 | - 12 |
| 7 |
| y = | 62 | - 12 |
| 7 |
| y = | 62 - 12·7 |
| 7 |
| y = | 62 - 84 |
| 7 |
| y = - | 22 |
| 7 |
Resultado aplicando el método de igualación:
| x = | 31 |
| 14 |
| y = - | 22 |
| 7 |
II) Sustitución
4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5
Despejamos "y" de la primera ecuación:
y = 4·x - 12
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
2·x + 3·(4·x - 12) = -5
Resolvemos:
2·x + 12·x - 36 = -5
14·x - 36 = -5
Despejamos "x":
14·x = 36 - 5
14·x = 31
| x = | 31 |
| 14 |
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
2·x + 3·y = -5
| 2· | 31 | + 3·y = -5 |
| 14 |
| 31 | + 3·y = -5 |
| 7 |
| 3·y = | -31 | - 5 |
| 7 |
| 3·y = | -31 - 5·7 |
| 7 |
| 3·y = | -31 - 35 |
| 7 |
| y = | -66 |
| 3·7 |
| y = - | 22 |
| 7 |
Resultado aplicando el método de sustitución:
| x = | 31 |
| 14 |
| y = - | 22 |
| 7 |
III) Reducción
4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5
Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y la sumamos a la primera:
4·x - y = 12
-2·(2·x + 3·y) = -2·(-5)
4·x - y = 12
-4·x - 6·y = 10
- y - 6·y = 12 + 10
-7·y = 22
Despejamos "y":
| y = - | 22 |
| 7 |
Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":
4·x - y = 12
| 4·x - (- | 22 | ) = 12 |
| 7 |
| 4·x + | 22 | = 12 |
| 7 |
| 4·x = 12 - | 22 |
| 7 |
| 4·x = | 12·7 - 22 |
| 7 |
| 4·x = | 84 - 22 |
| 7 |
| x = | 62 |
| 4·7 |
| x = | 62 |
| 28 |
| x = | 31 |
| 14 |
Resultado aplicando el método de reducción:
| x = | 31 |
| 14 |
| y = - | 22 |
| 7 |
IV) Determinantes
4·x - y = 12
2·x + 3·y = -5
| x = | Δx |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 4 | -1 |
| 2 | 3 |
Δ = 4·3 - (-1)·2
Δ = 12 + 2
Δ = 14
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δx = | 12 | -1 |
| -5 | 3 |
Δx = 12·3 - (-1)·(-5)
Δx = 36 - 5
Δx = 31
| Δy = | 4 | 12 |
| 2 | -5 |
Δy = 4·(-5) - 12·2
Δy = -20 - 24
Δy = -44
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δx |
| Δ |
| x = | 31 |
| 14 |
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | -44 |
| 14 |
| y = | -22 |
| 7 |
Resultado aplicando el método de determinantes:
| x = | 31 |
| 14 |
| y = | -22 |
| 7 |
Resultado, el punto de intersección es:
| P( | 31 | ; | -22 | ) |
| 14 | 7 |
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
y = 4·x - 12
| m1 = | 4 |
| 1 |
b1 = -12
| y = - | 2·x | - | 5 |
| 3 | 3 |
| m2 = - | 2 |
| 3 |
| b2 = - | 5 |
| 3 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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