Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 1-d de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 1-d

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17

Solución

I) Igualación

4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =	4·x - 6
	3

y = -5·x + 17

Igualamos y resolvemos:

-5·x + 17 =	4·x - 6
	3

3·(-5·x + 17) = 4·x - 6

-15·x + 51 = 4·x - 6

Despejamos "x":

-15·x - 4·x = -51 - 6

-19·x = -57

x =	-57
	-19

x = 3

Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":

y = -5·x + 17

y = -5·3 + 17

y = -15 + 17

y = 2

Resultado aplicando el método de igualación:

x = 3

y = 2

II) Sustitución

4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17

Despejamos "y" de la segunda ecuación:

y = -5·x + 17

Sustituimos "y" en la primera ecuación:

4·x - 3·y = 6

4·x - 3·(-5·x + 17) = 6

Resolvemos:

4·x + 15·x - 51 = 6

Despejamos "x":

19·x = 6 + 51

19·x = 57

x =	57
	19

x = 3

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y = -5·x + 17

y = -5·3 + 17

y = -15 + 17

y = 2

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = 3

y = 2

III) Reducción

4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17

Multiplicamos la segunda ecuación por 3 y la sumamos a la primera:

4·x - 3·y = 6
3·(5·x + y) = 3·17

4·x - 3·y = 6
15·x + 3·y = 51

4·x + 15·x = 6 + 51

Despejamos "x":

19·x = 57

x =	57
	19

x = 3

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

4·x - 3·y = 6

4·3 - 3·y = 6

12 - 3·y = 6

-3·y = 6 - 12

-3·y = -6

y = 2

Resultado aplicando el método de reducción:

x = 3

y = 2

IV) Determinantes

4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17

x =	Δ_x
	Δ

y =	Δ_y
	Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =	4	-3
Δ =	5	1

Δ = 4·1 - (-3)·5

Δ = 4 + 15

Δ = 19

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δ_x =	6	-3
Δ_x =	17	1

Δ_x = 6·1 - (-3)·17

Δ_x = 6 + 51

Δ_x = 57

Δ_y =	4	6
Δ_y =	5	17

Δ_y = 4·17 - 6·5

Δ_y = 68 - 30

Δ_y = 38

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =	Δ_x
	Δ

x =	57
	19

x = 3

y =	Δ_y
	Δ

y =	38
	19

y = 2

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = 3

y = 2

Resultado, el punto de intersección es:

P(3; 2)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =	4·x	-	6
	3		3

y =	4·x	- 2
	3

m₁ =	4
	3

b₁ = -2

y = -5·x + 17

m₂ = -	5
	1

b₂ = 17

Gráfica de las rectas

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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