Problema nº 1-a de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02

Enunciado del ejercicio nº 1-a

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

• Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
• La ordenada al origen y la pendiente de la recta.

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la primera ecuación en la segunda:

3·x - 2·(x² + 4·x + 4) = -16

Resolvemos:

3·x - 2·x² - 8·x - 8 = -16

Igualamos a cero:

3·x - 2·x² - 8·x - 8 + 16 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-2·x² + 3·x - 8·x - 8 + 16 = 0

-2·x² - 8·x + 8 = 0

Extraemos factor común "-2":

-2·(x² + 4·x - 4) = 0

x² + 4·x - 4 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = 4

c = -4

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Extraemos factor común "4" y simplificamos:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

Extraemos factor común "2":

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

Extraemos factor común "2" en ambas y simplificamos:

y₁ = 3·(-1 + ) + 8

y₁ = -3 + 3· + 8

y₁ = 5 + 3·

y₂ = 3·(-1 - ) + 8

y₂ = -3 - 3· + 8

y₂ = 5 - 3·

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(-2 + 2·; 5 + 3·)

P₂(-2 - 2·; 5 - 3·)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² + 4·x + 4 = 0

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)² = 0

La intersección con el eje "X" es:

x₁ = x₂ = -2

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vₓ = -2

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":

V_y = Vₓ² + 4·Vₓ + 4

V_y = (-2)² + 4·(-2) + 4

V_y = 4 - 8 + 4

V_y = 0

El vértice es:

V = (-2; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

3·x - 2·y = -16

Separamos en términos:

La pendiente es:

La ordenada al origen es:

b = 8

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática