Problema n° 1-a de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-a

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

y = x² + 4·x + 4
3·x - 2·y = -16

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

y = x² + 4·x + 4
3·x - 2·y = -16

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la primera ecuación en la segunda:

3·x - 2·(x² + 4·x + 4) = -16

Resolvemos:

3·x - 2·x² - 8·x - 8 = -16

Igualamos a cero:

3·x - 2·x² - 8·x - 8 + 16 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-2·x² + 3·x - 8·x - 8 + 16 = 0

-2·x² - 8·x + 8 = 0

Extraemos factor común "-2":

-2·(x² + 4·x - 4) = 0

x² + 4·x - 4 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = 4

c = -4

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-4 ± √4² - 4·1·(-4)
	2·1

x_1,2 =	-4 ± √16 + 16
	2

x_1,2 =	-4 ± √32
	2

x_1,2 =	-4 ± √2⁵
	2

x_1,2 =	-4 ± 4·√2
	2

Extraemos factor común "4" y simplificamos:

x_1,2 = -2 ± 2·√2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ = -2 + 2·√2

Extraemos factor común "2":

x₁ = 2·(-1 + √2)

x₂ = -2 - 2·√2

Extraemos factor común "2":

x₂ = 2·(-1 - √2)

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

y =	3·x + 16
	2

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

y₁ =	3·[2·(-1 + √2)] + 16
	2

y₂ =	3·[2·(-1 - √2)] + 16
	2

Extraemos factor común "2" en ambas y simplificamos:

y₁ =	2·[3·(-1 + √2) + 8]
	2

y₁ = 3·(-1 + √2) + 8

y₁ = -3 + 3·√2 + 8

y₁ = 5 + 3·√2

y₂ =	2·[3·(-1 - √2) + 8]
	2

y₂ = 3·(-1 - √2) + 8

y₂ = -3 - 3·√2 + 8

y₂ = 5 - 3·√2

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(-2 + 2·√2; 5 + 3·√2)

P₂(-2 - 2·√2; 5 - 3·√2)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² + 4·x + 4 = 0

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)² = 0

La intersección con el eje "X" es:

x₁ = x₂ = -2

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

V_x =	x₂ + x₁
	2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x =	-2 - 2
	2

V_x =	-4
	2

V_x = -2

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = V_x² + 4·V_x + 4

V_y = (-2)² + 4·(-2) + 4

V_y = 4 - 8 + 4

V_y = 0

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (-2; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

3·x - 2·y = -16

y =	3·x + 16
	2

Separamos en términos:

y =	3	·x + 8
	2

La pendiente es:

m =	3
	2

La ordenada al origen es:

b = 8

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina