Problema n° 1-a de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02
Enunciado del ejercicio n° 1-a
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
y = x² + 4·x + 4
3·x - 2·y = -16
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
y = x² + 4·x + 4
3·x - 2·y = -16
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la primera ecuación en la segunda:
3·x - 2·(x² + 4·x + 4) = -16
Resolvemos:
3·x - 2·x² - 8·x - 8 = -16
Igualamos a cero:
3·x - 2·x² - 8·x - 8 + 16 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-2·x² + 3·x - 8·x - 8 + 16 = 0
-2·x² - 8·x + 8 = 0
Extraemos factor común "-2":
-2·(x² + 4·x - 4) = 0
x² + 4·x - 4 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
2·a |
Siendo:
a = 1
b = 4
c = -4
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
x1,2 = | -4 ± √4² - 4·1·(-4) |
2·1 |
x1,2 = | -4 ± √16 + 16 |
2 |
x1,2 = | -4 ± √32 |
2 |
x1,2 = | -4 ± √25 |
2 |
x1,2 = | -4 ± 4·√2 |
2 |
Extraemos factor común "4" y simplificamos:
x1,2 = -2 ± 2·√2
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
x1 = -2 + 2·√2
Extraemos factor común "2":
x1 = 2·(-1 + √2)
x2 = -2 - 2·√2
Extraemos factor común "2":
x2 = 2·(-1 - √2)
Despejamos "y" de la ecuación lineal:
y = | 3·x + 16 |
2 |
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
y1 = | 3·[2·(-1 + √2)] + 16 |
2 |
y2 = | 3·[2·(-1 - √2)] + 16 |
2 |
Extraemos factor común "2" en ambas y simplificamos:
y1 = | 2·[3·(-1 + √2) + 8] |
2 |
y1 = 3·(-1 + √2) + 8
y1 = -3 + 3·√2 + 8
y1 = 5 + 3·√2
y2 = | 2·[3·(-1 - √2) + 8] |
2 |
y2 = 3·(-1 - √2) + 8
y2 = -3 - 3·√2 + 8
y2 = 5 - 3·√2
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
P1(-2 + 2·√2; 5 + 3·√2)
P2(-2 - 2·√2; 5 - 3·√2)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² + 4·x + 4 = 0
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
x² + 4·x + 4 = (x + 2)² = 0
La intersección con el eje "X" es:
x1 = x2 = -2
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
Vx = | x2 + x1 |
2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
Vx = | -2 - 2 |
2 |
Vx = | -4 |
2 |
Vx = -2
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx":
Vy = Vx² + 4·Vx + 4
Vy = (-2)² + 4·(-2) + 4
Vy = 4 - 8 + 4
Vy = 0
El vértice es:
V = (Vx; Vy)
V = (-2; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal:
3·x - 2·y = -16
y = | 3·x + 16 |
2 |
Separamos en términos:
y = | 3 | ·x + 8 |
2 |
La pendiente es:
m = | 3 |
2 |
La ordenada al origen es:
b = 8
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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