Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Problema n° 1-b de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - x - y = 0
5·x + y = 17

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

x² - x - y = 0
5·x + y = 17

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación de la recta:

5·x + y = 17

y = -5·x + 17

Reemplazamos en la ecuación de la parábola:

x² - x - y = 0

x² - x - (-5·x + 17) = 0

Resolvemos:

x² - x + 5·x - 17 = 0

x² + 4·x - 17 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = 4

c = -17

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-4 ± √4² - 4·1·(-17)
	2·1

x_1,2 =	-4 ± √16 + 68
	2

x_1,2 =	-4 ± √84
	2

x_1,2 =	-4 ± √2²·21
	2

x_1,2 =	-4 ± 2·√21
	2

Extraemos factor común "2" en el numerador:

x_1,2 =	2·(-2 ± √21)
	2

Simplificamos:

x_1,2 = -2 ± √21

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ = -2 + √21

x₂ = -2 - √21

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado en la ecuación lineal:

y₁ = -5·(-2 + √21) + 17

y₂ = -5·(-2 - √21) + 17

Resolvemos:

y₁ = 10 - 5·√21 + 17

y₁ = 27 - 5·√21

y₂ = 10 + 5·√21 + 17

y₂ = 27 + 5·√21

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(-2 + √21; 27 - 5·√21)

P₂(-2 - √21; 27 + 5·√21)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - x - y = 0

x² - x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x - 1) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x - 1 = 0 ⇒ x = 1

La intersección con el eje "X" es:

x₁ = 0

x₂ = 1

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

V_x =	x₂ + x₁
	2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x =	1 + 0
	2

V_x =	1
	2

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x" en la ecuación de la parábola:

x² - x - y = 0

y = x² - x

V_y = V_x² - V_x

V_y = (	1	)² -	1
	2		2

V_y =	1	-	1
	4		2

V_y =	1 - 2
	4

V_y =	-1
	4

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (	1	; -	1	)
	2		4

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

5·x + y = 17

y = -5·x + 17

La pendiente es:

m = -	5
	1

La ordenada al origen es:

b = 17

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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