Problema nº 1-b de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática
Enunciado del ejercicio nº 1-b
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
- La ordenada al origen y la pendiente de la recta.
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación de la recta:
5·x + y = 17
y = -5·x + 17
Reemplazamos en la ecuación de la parábola:
x² - x - y = 0
x² - x - (-5·x + 17) = 0
Resolvemos:
x² - x + 5·x - 17 = 0
x² + 4·x - 17 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = 1
b = 4
c = -17
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Extraemos factor común "2" en el numerador:
Simplificamos:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado en la ecuación lineal:
Resolvemos:
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - x - y = 0
x² - x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(x - 1) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x = 0 ∧ x - 1 = 0 ⇒ x = 1
La intersección con el eje "X" es:
x₁ = 0
x₂ = 1
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
Reemplazamos por los valores y calculamos:
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ" en la ecuación de la parábola:
x² - x - y = 0
y = x² - x
Vy = Vₓ² - Vₓ
El vértice es:
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal:
5·x + y = 17
y = -5·x + 17
La pendiente es:
La ordenada al origen es:
b = 17
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática