Problema nº 1-b de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02

Enunciado del ejercicio nº 1-b

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

Cálculo de sistemas de ecuaciones

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

Cálculo de sistemas de ecuaciones

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación de la recta:

5·x + y = 17

y = -5·x + 17

Reemplazamos en la ecuación de la parábola:

x² - x - y = 0

x² - x - (-5·x + 17) = 0

Resolvemos:

x² - x + 5·x - 17 = 0

x² + 4·x - 17 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Ecuación de Báscara o Bhaskara

Siendo:

a = 1

b = 4

c = -17

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Cálculo de raíces

Extraemos factor común "2" en el numerador:

Cálculo de raíces

Simplificamos:

Cálculo de raíces

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

Cálculo de raíces

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado en la ecuación lineal:

Cálculo de las incógnitas

Resolvemos:

Cálculo de las incógnitas

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

Cálculo de las incógnitas

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - x - y = 0

x² - x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x - 1) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x - 1 = 0 ⇒ x = 1

La intersección con el eje "X" es:

x₁ = 0

x₂ = 1

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Cálculo del vértice de una parábola

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Cálculo del vértice de una parábola

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ" en la ecuación de la parábola:

x² - x - y = 0

y = x² - x

Vy = Vₓ² - Vₓ

Cálculo del vértice de una parábola

El vértice es:

Ecuación del vértice de la parábola

Cálculo del vértice de una parábola

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

5·x + y = 17

y = -5·x + 17

La pendiente es:

Cálculo de la pendiente de una recta

La ordenada al origen es:

b = 17

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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