Problema n° 1-b de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - x - y = 0
5·x + y = 17

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

x² - x - y = 0
5·x + y = 17

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación de la recta:

5·x + y = 17

y = -5·x + 17

Reemplazamos en la ecuación de la parábola:

x² - x - y = 0

x² - x - (-5·x + 17) = 0

Resolvemos:

x² - x + 5·x - 17 = 0

x² + 4·x - 17 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 4

c = -17

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-4 ± 4² - 4·1·(-17)
2·1
x1,2 =-4 ± 16 + 68
2
x1,2 =-4 ± 84
2
x1,2 =-4 ± 2²·21
2
x1,2 =-4 ± 2·21
2

Extraemos factor común "2" en el numerador:

x1,2 =2·(-2 ± 21)
2

Simplificamos:

x1,2 = -2 ± 21

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 = -2 + 21

x2 = -2 - 21

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado en la ecuación lineal:

y1 = -5·(-2 + 21) + 17

y2 = -5·(-2 - 21) + 17

Resolvemos:

y1 = 10 - 5·21 + 17

y1 = 27 - 5·21

y2 = 10 + 5·21 + 17

y2 = 27 + 5·21

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P1(-2 + 21; 27 - 5·21)

P2(-2 - 21; 27 + 5·21)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - x - y = 0

x² - x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x - 1) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x - 1 = 0 ⇒ x = 1

La intersección con el eje "X" es:

x1 = 0

x2 = 1

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vx =x2 + x1
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vx =1 + 0
2
Vx =1
2

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx" en la ecuación de la parábola:

x² - x - y = 0

y = x² - x

Vy = Vx² - Vx

Vy = (1)² -1
22
Vy =1-1
42
Vy =1 - 2
4
Vy =-1
4

El vértice es:

V = (Vx; Vy)

V = (1; -1)
24
- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal:

5·x + y = 17

y = -5·x + 17

La pendiente es:

m = -5
1

La ordenada al origen es:

b = 17

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.
Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.