Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática
Problema n° 1-r de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02
Enunciado del ejercicio n° 1-r
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
y = -x² + x - 6
x + y = 1
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
y = -x² + x - 6 (1)
x + y = 1 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
x + (-x² + x - 6) = 1
Resolvemos:
x - x² + x - 6 = 1
Igualamos a cero:
x - x² + x - 6 - 1 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-x² + x + x - 6 - 1 = 0
-x² + 2·x - 7 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -1
b = 2
c = -7
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -2 ± √2² - 4·(-1)·(-7) |
| 2·(-1) |
| x1,2 = | -2 ± √4 - 28 |
| -2 |
| x1,2 = | -2 ± √-24 |
| -2 |
√-24 ∉ ℜ
La parábola y la recta no se cortan.
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
y = -x² + x - 6
-x² + x - 6 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -1
b = 1
c = -6
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -1 ± √1² - 4·(-1)·(-6) |
| 2·(-1) |
| x1,2 = | -1 ± √1 - 24 |
| -2 |
| x1,2 = | -1 ± √-23 |
| -2 |
√-23 ∉ ℜ
La parábola no corta al eje "X".
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx" ó, en este caso, por cero:
Vy = -x² + x - 6
Vy = -0² + 0 - 6
Vy = -6
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
x + y = 1
y = -x + 1
La pendiente es:
m = -1
La ordenada al origen es:
b = 1
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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