Problema n° 1-r de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-r

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

y = -x² + x - 6
x + y = 1

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

y = -x² + x - 6 (1)
x + y = 1 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

x + (-x² + x - 6) = 1

Resolvemos:

x - x² + x - 6 = 1

Igualamos a cero:

x - x² + x - 6 - 1 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-x² + x + x - 6 - 1 = 0

-x² + 2·x - 7 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -1

b = 2

c = -7

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-2 ± 2² - 4·(-1)·(-7)
2·(-1)
x1,2 =-2 ± 4 - 28
-2
x1,2 =-2 ± -24
-2

-24 ∉ ℜ

La parábola y la recta no se cortan.

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

y = -x² + x - 6

-x² + x - 6 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -1

b = 1

c = -6

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-1 ± 1² - 4·(-1)·(-6)
2·(-1)
x1,2 =-1 ± 1 - 24
-2
x1,2 =-1 ± -23
-2

-23 ∉ ℜ

La parábola no corta al eje "X".

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx" ó, en este caso, por cero:

Vy = -x² + x - 6

Vy = -0² + 0 - 6

Vy = -6

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

x + y = 1

y = -x + 1

La pendiente es:

m = -1

La ordenada al origen es:

b = 1

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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