Problema nº 1-c de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-c
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
- La ordenada al origen y la pendiente de la recta.
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
5·x + 4·(x² - 4·x + 4) = 10
Resolvemos:
5·x + 4·x² - 16·x + 16 = 10
Igualamos a cero:
5·x + 4·x² - 16·x + 16 - 10 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
4·x² - 16·x + 5·x + 16 - 10 = 0
4·x² - 11·x + 6 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = 4
b = -11
c = 6
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
x₁ = 2
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x + 4·y = 10
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
y₁ = 0
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
P₁(2; 0)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - 4·x + 4 = y
x² - 4·x + 4 = 0
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
x² - 4·x + 4 = (x - 2)² = 0
La intersección con el eje "X" es:
x₁ = x₂ = 2
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
Reemplazamos por los valores y calculamos:
Vₓ = 2
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² - 4·Vₓ + 4
Vy = 2² - 4·2 + 4
Vy = 4 - 8 + 4
Vy = 0
El vértice es:
V = (2; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x + 4·y = 10
Separamos en términos:
La pendiente es:
La ordenada al origen es:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática