Problema n° 1-c de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-c

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - 4·x + 4 = y
5·x + 4·y = 10

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

x² - 4·x + 4 = y (1)
5·x + 4·y = 10 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

5·x + 4·(x² - 4·x + 4) = 10

Resolvemos:

5·x + 4·x² - 16·x + 16 = 10

Igualamos a cero:

5·x + 4·x² - 16·x + 16 - 10 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

4·x² - 16·x + 5·x + 16 - 10 = 0

4·x² - 11·x + 6 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 4

b = -11

c = 6

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-11) ± √(-11)² - 4·4·6
	2·4

x_1,2 =	11 ± √121 - 96
	8

x_1,2 =	11 ± √25
	8

x_1,2 =	11 ± 5
	8

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ =	11 + 5
	8

x₁ =	16
	8

x₁ = 2

x₂ =	11 - 5
	8

x₂ =	6
	8

x₂ =	3
	4

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

5·x + 4·y = 10

y =	-5·x + 10
	4

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

y₁ =	-5·x₁ + 10
	4

y₁ =	-5·2 + 10
	4

y₁ =	-10 + 10
	4

y₁ = 0

y₂ =	-5·x₂ + 10
	4

	-5·	3	+ 10
y₂ =		4
	4

	-15	+ 10
y₂ =	4
	4

	-15 + 40
y₂ =	4
y₂ =	4

y₂ =	25
	16

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(2; 0)

P₂(	3	;	25	)
	4		16

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - 4·x + 4 = y

x² - 4·x + 4 = 0

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

x² - 4·x + 4 = (x - 2)² = 0

La intersección con el eje "X" es:

x₁ = x₂ = 2

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

V_x =	x₂ + x₁
	2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x =	2 + 2
	2

V_x =	4
	2

V_x = 2

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = V_x² - 4·V_x + 4

V_y = 2² - 4·2 + 4

V_y = 4 - 8 + 4

V_y = 0

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (2; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

5·x + 4·y = 10

y =	-5·x + 10
	4

Separamos en términos:

y = -	5·x	+	10
	4		4

y = -	5·x	+	5
	4		2

La pendiente es:

m = -	5
	4

La ordenada al origen es:

b =	5
	2

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina