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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Problema n° 1-e de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-e

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

y = -x² + x + 6
4·x + y = 14

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

y = -x² + x + 6 (1)
4·x + y = 14 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

4·x + (-x² + x + 6) = 14

Resolvemos:

4·x - x² + x + 6 = 14

Igualamos a cero:

4·x - x² + x + 6 - 14 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-x² + 4·x + x + 6 - 14 = 0

-x² + 5·x - 8 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -1

b = 5

c = -8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-5 ± 5² - 4·(-1)·(-8)
2·(-1)
x1,2 =-5 ± 25 - 32
-2
x1,2 =-5 ± -7
-2

-7 ∉ ℜ

La parábola y la recta no se cortan.

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

y = -x² + x + 6

-x² + x + 6 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -1

b = 1

c = 6

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-1 ± 1² - 4·(-1)·6
2·(-1)
x1,2 =-1 ± 1 + 24
-2
x1,2 =-1 ± 25
-2
x1,2 =-1 ± 5
-2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 =-1 + 5
-2
x1 =4
-2

x1 = -2

x2 =-1 - 5
-2
x2 =-6
-2

x2 = 3

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vx =x2 + x1
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vx =-2 + 3
2
Vx =1
2

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx":

Vy = -Vx² + Vx + 6

Vy = -(1)² + 1+ 6
22
Vy = -1+ 1+ 6
42
Vy =-1 + 2 + 24
4
Vy =25
4

El vértice es:

V = (Vx; Vy)

V = (1;25)
24
- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x + y = 14

y = -4·x + 14

La pendiente es:

m = -4
1

La ordenada al origen es:

b = 14

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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