Problema nº 1-g de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02

Enunciado del ejercicio nº 1-g

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

Cálculo de sistemas de ecuaciones

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

Cálculo de sistemas de ecuaciones

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

4·x² + 4·x + 1 = y

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

4·x - y = 12

4·x - (4·x² + 4·x + 1) = 12

Resolvemos:

4·x - 4·x² - 4·x - 1 = 12

Igualamos a cero:

4·x - 4·x² - 4·x - 1 - 12 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-4·x² + 4·x - 4·x - 1 - 12 = 0

-4·x² - 13 = 0

Despejamos "x":

-4·x² = 13

x² = -13/4

Cálculo de las incógnitas

La parábola y la recta no se cortan.

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

4·x² + 4·x + 1 - y = 0

4·x² + 4·x + 1 = y

4·x² + 4·x + 1 = 0

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

4·x² + 4·x + 1 = (2·x + 1)² = 0

Por lo tanto:

2·x + 1 = 0

2·x = -1

x₁ = x₂ = -½

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Cálculo del vértice de una parábola

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Cálculo del vértice de una parábola

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":

Vy = 4·Vₓ² + 4·Vₓ + 1

Vy = 4·(-½)² + 4·(-½) + 1

Vy = 4·¼ - 2 + 1

Vy = 1 - 1

Vy = 0

El vértice es:

Ecuación del vértice de la parábola

V = (-½; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x - y = 12

y = 4·x - 12

La pendiente es:

Cálculo de la pendiente de una recta

La ordenada al origen es:

b = -12

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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