Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Problema n° 1-g de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-g

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

4·x² + 4·x + 1 - y = 0
4·x - y = 12

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

• De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
• De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

4·x² + 4·x + 1 - y = 0 (1)
4·x - y = 12 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

4·x² + 4·x + 1 = y

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

4·x - y = 12

4·x - (4·x² + 4·x + 1) = 12

Resolvemos:

4·x - 4·x² - 4·x - 1 = 12

Igualamos a cero:

4·x - 4·x² - 4·x - 1 - 12 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-4·x² + 4·x - 4·x - 1 - 12 = 0

-4·x² - 13 = 0

Despejamos "x":

-4·x² = 13

x² = -13/4

x_1,2 = √-13/4

x_1,2 ∉ ℜ

La parábola y la recta no se cortan.

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

4·x² + 4·x + 1 - y = 0

4·x² + 4·x + 1 = y

4·x² + 4·x + 1 = 0

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

4·x² + 4·x + 1 = (2·x + 1)² = 0

Por lo tanto:

2·x + 1 = 0

2·x = -1

x₁ = x₂ = -½

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Reemplazamos por los valores y calculamos:

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = 4·V_x² + 4·V_x + 1

V_y = 4·(-½)² + 4·(-½) + 1

V_y = 4·¼ - 2 + 1

V_y = 1 - 1

V_y = 0

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (-½; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x - y = 12

y = 4·x - 12

La pendiente es:

La ordenada al origen es:

b = -12

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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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