Problema nº 1-i de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-i
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
-x² - y = 0
2·x + 3·y + 8 = 0
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
-x² - y = 0 (1)
2·x + 3·y + 8 = 0 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
y = -x²
Reemplazamos "y" en la ecuación (2):
2·x + 3·(-x²) + 8 = 0
2·x - 3·x² + 8 = 0
-3·x² + 2·x + 8 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = -3
b = 2
c = 8
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -2 ± √2² - 4·(-3)·8 |
| 2·(-3) |
| x1,2 = | -2 ± √4 + 96 |
| -6 |
| x1,2 = | -2 ± √100 |
| -6 |
| x1,2 = | -2 ± 10 |
| -6 |
| x1,2 = | -1 ± 5 |
| -3 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
| x₁ = | -1 + 5 |
| -3 |
| x₁ = | 4 |
| -3 |
| x₁ = - | 4 |
| 3 |
| x₂ = | -1 - 5 |
| -3 |
| x₂ = | -6 |
| -3 |
x₂ = 2
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x + 3·y + 8 = 0
| y = | -2·x - 8 |
| 3 |
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
| y₁ = | -2·x₁ - 8 |
| 3 |
| y₂ = | -2·x₂ - 8 |
| 3 |
| -2·(- | 4 | ) - 8 | |
| y₁ = | 3 | ||
| 3 | |||
| 8 | - 8 | |
| y₁ = | 3 | |
| 3 | ||
| 8 - 24 | |
| y₁ = | 3 |
| 3 |
| y₁ = | -16 |
| 9 |
| y₂ = | -2·2 - 8 |
| 3 |
| y₂ = | -4 - 8 |
| 3 |
| y₂ = | -12 |
| 3 |
y₂ = -4
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
| P₁(- | 4 | ; - | 16 | ) |
| 3 | 9 |
P₂(2; -4)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
-x² - y = 0
-x² = 0
x² = 0
Sin más cálculos se deduce que la intersección con el eje "X" es:
x₁ = x₂ = 0
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | 0 + 0 |
| 2 |
Vₓ = 0
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = -Vₓ²
Vy = -0²
Vy = 0
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (0; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x + 3·y + 8 = 0
| y = | -2·x - 8 |
| 3 |
Separamos en términos:
| y = - | 2·x | - | 8 |
| 3 | 3 |
La pendiente es:
| m = - | 2 |
| 3 |
La ordenada al origen es:
| b = - | 8 |
| 3 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática