Problema nº 1-i de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática
Enunciado del ejercicio nº 1-i
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
- La ordenada al origen y la pendiente de la recta.
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
y = -x²
Reemplazamos "y" en la ecuación (2):
2·x + 3·(-x²) + 8 = 0
2·x - 3·x² + 8 = 0
-3·x² + 2·x + 8 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = -3
b = 2
c = 8
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
x₂ = 2
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x + 3·y + 8 = 0
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
y₂ = -4
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
-x² - y = 0
-x² = 0
x² = 0
Sin más cálculos se deduce que la intersección con el eje "X" es:
x₁ = x₂ = 0
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
Reemplazamos por los valores y calculamos:
Vₓ = 0
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = -Vₓ²
Vy = -0²
Vy = 0
El vértice es:
V = (0; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x + 3·y + 8 = 0
Separamos en términos:
La pendiente es:
La ordenada al origen es:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática