Problema n° 1-i de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-i

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

-x² - y = 0
2·x + 3·y + 8 = 0

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

-x² - y = 0 (1)
2·x + 3·y + 8 = 0 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

y = -x²

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

2·x + 3·(-x²) + 8 = 0

2·x - 3·x² + 8 = 0

-3·x² + 2·x + 8 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -3

b = 2

c = 8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-2 ± 2² - 4·(-3)·8
2·(-3)
x1,2 =-2 ± 4 + 96
-6
x1,2 =-2 ± 100
-6
x1,2 =-2 ± 10
-6
x1,2 =-1 ± 5
-3

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 =-1 + 5
-3
x1 =4
-3
x1 = -4
3
x2 =-1 - 5
-3
x2 =-6
-3

x2 = 2

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x + 3·y + 8 = 0

y =-2·x - 8
3

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

y1 =-2·x1 - 8
3
y2 =-2·x2 - 8
3
 -2·(-4) - 8
y1 =3
3
 8- 8
y1 =3
3
 8 - 24
y1 =3
 3
y1 =-16
9
y2 =-2·2 - 8
3
y2 =-4 - 8
3
y2 =-12
3

y2 = -4

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P1(-4; -16)
39

P2(2; -4)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

-x² - y = 0

-x² = 0

x² = 0

Sin más cálculos se deduce que la intersección con el eje "X" es:

x1 = x2 = 0

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vx =x2 + x1
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vx =0 + 0
2

Vx = 0

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx":

Vy = -Vx²

Vy = -0²

Vy = 0

El vértice es:

V = (Vx; Vy)

V = (0; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x + 3·y + 8 = 0

y =-2·x - 8
3

Separamos en términos:

y = -2·x-8
33

La pendiente es:

m = -2
3

La ordenada al origen es:

b = -8
3

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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