Problema n° 1-k de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-k

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

-2·x² + 4·x - 5 - y = 0
x - 2·y - 1 = 0

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

-2·x² + 4·x - 5 - y = 0 (1)
x - 2·y - 1 = 0 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

-2·x² + 4·x - 5 - y = 0

y = -2·x² + 4·x - 5

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

x - 2·y - 1 = 0

x - 2·(-2·x² + 4·x - 5) - 1 = 0

x + 4·x² - 8·x + 10 - 1 = 0

4·x² - 7·x + 9 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 4

b = -7

c = 9

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-7) ± (-7)² - 4·4·9
2·4
x1,2 =7 ± 49 - 144
8
x1,2 =7 ± -95
8

-95 ∉ ℜ

La parábola y la recta no se cortan.

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

-2·x² + 4·x - 5 - y = 0

-2·x² + 4·x - 5 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -2

b = 4

c = -5

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-4 ± 4² - 4·(-2)·(-5)
2·(-2)
x1,2 =-4 ± 16 - 40
-4
x1,2 =-4 ± -24
-4

-24 ∉ ℜ

La parábola no corta al eje "X".

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx" ó, en este caso, por cero:

-2·x² + 4·x - 5 - y = 0

Vy = -2·0² + 4·0 - 5

Vy = -5

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

x - 2·y - 1 = 0

y =x - 1
2

Separamos en términos:

y =x-1
22

La pendiente es:

m =1
2

La ordenada al origen es:

b = -1
2

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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