Problema n° 1-m de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-m

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - y - 4 = 0
4·x + y = -8

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

• De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
• De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

x² - y - 4 = 0 (1)
4·x + y = -8 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (2):

4·x + y = -8

y = -4·x - 8

Reemplazamos "y" en la ecuación (1):

x² - y - 4 = 0

x² - (-4·x - 8) - 4 = 0

x² + 4·x + 8 - 4 = 0

x² + 4·x + 4 = 0

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)² = 0

Por lo tanto:

x₁ = x₂ = -2

Despejamos "y" de la ecuación (2):

y = -4·x - 8

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

y = -4·x - 8

y₁ = y₂ = -4·(-2) - 8

y₁ = y₂ = 8 - 8

y₁ = y₂ = 0

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(-2; 0)

P₂(-2; 0)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - y - 4 = 0

x² - 0 - 4 = 0

x² - 4 = 0

Despejamos "x":

x² = 4

x_1,2 = ±√4

x_1,2 = ±2

x₁ = 2

x₂ = -2

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x = 0

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = V_x² - 4

V_y = 0² - 4

V_y = -4

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (0; -4)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

y = -4·x - 8

La pendiente es:

m = -4

La ordenada al origen es:

b = -8

La recta es tangente a la parábola en el punto (-2; 0)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática