Problema nº 1-n de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02

Enunciado del ejercicio nº 1-n

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

Cálculo de sistemas de ecuaciones

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

Cálculo de sistemas de ecuaciones

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

6·x - 9 = -x² - y

y = x² + 6·x - 9

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

2·x - 5·y = -11

2·x - 5·(x² + 6·x - 9) = -11

2·x - 5·x² - 30·x + 45 = -11

Igualamos a cero:

2·x - 5·x² - 30·x + 45 + 11 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-5·x² - 30·x + 2·x + 45 + 11 = 0

-5·x² - 28·x + 56 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Ecuación de Báscara o Bhaskara

Siendo:

a = -5

b = -28

c = 56

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Cálculo de raíces

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

Cálculo de raíces

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x - 5·y = -11

Cálculo de sistemas de ecuaciones por igualación

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

Cálculo de las incógnitas

Cálculo de las incógnitas

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

Punto de intersección

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

6·x - 9 = -x² - y

x² + 6·x - 9 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Ecuación de Báscara o Bhaskara

Siendo:

a = 1

b = 6

c = -9

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Cálculo de raíces

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

Cálculo de raíces

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Cálculo del vértice de una parábola

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Cálculo del vértice de una parábola

Vₓ = -3

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":

Vy = Vₓ² + 6·Vₓ - 9

Vy = (-3)² + 6·(-3) - 9

Vy = 9 - 18 - 9

Vy = -18

El vértice es:

Ecuación del vértice de la parábola

V = (-3; -18)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x - 5·y = -11

Cálculo de sistemas de ecuaciones por igualación

Separamos en términos:

Cálculo de la ecuación de la recta

La pendiente es:

Cálculo de la pendiente de una recta

La ordenada al origen es:

Cálculo de la ordenada al origen

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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