Problema n° 1-n de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-n

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

6·x - 9 = -x² - y
2·x - 5·y = -11

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

6·x - 9 = -x² - y (1)
2·x - 5·y = -11 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

6·x - 9 = -x² - y

y = x² + 6·x - 9

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

2·x - 5·y = -11

2·x - 5·(x² + 6·x - 9) = -11

2·x - 5·x² - 30·x + 45 = -11

Igualamos a cero:

2·x - 5·x² - 30·x + 45 + 11 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-5·x² - 30·x + 2·x + 45 + 11 = 0

-5·x² - 28·x + 56 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = -5

b = -28

c = 56

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-28) ± √(-28)² - 4·(-5)·56
	2·(-5)

x_1,2 =	28 ± √784 + 1.120
	-10

x_1,2 =	28 ± √1.904
	-10

x_1,2 =	28 ± √4²·119
	-10

x_1,2 =	28 ± 4·√119
	-10

x_1,2 =	14 ± 2·√119
	-5

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ =	14 + 2·√119
	-5

x₂ =	14 - 2·√119
	-5

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x - 5·y = -11

y =	2·x + 11
	5

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

	2·	14 + 2·√119	+ 11
y₁ =		-5
	5

	28 + 4·√119	+ 11
y₁ =	-5
	5

	28 + 4·√119 + 11·(-5)
y₁ =	-5
y₁ =	5

y₁ =	28 + 4·√119 - 55
	-25

y₁ =	-27 + 4·√119
	-25

y₁ =	27 - 4·√119
	25

	2·	14 - 2·√119	+ 11
y₂ =		-5
	5

	28 - 4·√119	+ 11
y₂ =	-5
	5

	28 - 4·√119 + 11·(-5)
y₂ =	-5
y₂ =	5

y₂ =	28 - 4·√119 - 55
	-25

y₂ =	-27 - 4·√119
	-25

y₂ =	27 + 4·√119
	25

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(	14 + 2·√119	;	27 - 4·√119	)
	-5		25

P₂(	14 - 2·√119	;	27 + 4·√119	)
	-5		25

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

6·x - 9 = -x² - y

x² + 6·x - 9 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = 6

c = -9

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-6 ± √6² - 4·1·(-9)
	2·1

x_1,2 =	-6 ± √36 + 36
	2

x_1,2 =	-6 ± √2·6²
	2

x_1,2 =	-6 ± 6·√2
	2

x_1,2 = -3 ± 3·√2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ = -3 + 3·√2

x₂ = -3 - 3·√2

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

V_x =	x₂ + x₁
	2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x =	-3 - 3·√2 - 3 + 3·√2
	2

V_x =	-6
	2

V_x = -3

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = V_x² + 6·V_x - 9

V_y = (-3)² + 6·(-3) - 9

V_y = 9 - 18 - 9

V_y = -18

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (-3; -18)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x - 5·y = -11

y =	2·x + 11
	5

Separamos en términos:

y =	2	·x +	11
	5		5

La pendiente es:

m =	2
	5

La ordenada al origen es:

b =	11
	5

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.