Problema nº 1-n de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática
Enunciado del ejercicio nº 1-n
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
- La ordenada al origen y la pendiente de la recta.
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
6·x - 9 = -x² - y
y = x² + 6·x - 9
Reemplazamos "y" en la ecuación (2):
2·x - 5·y = -11
2·x - 5·(x² + 6·x - 9) = -11
2·x - 5·x² - 30·x + 45 = -11
Igualamos a cero:
2·x - 5·x² - 30·x + 45 + 11 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-5·x² - 30·x + 2·x + 45 + 11 = 0
-5·x² - 28·x + 56 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = -5
b = -28
c = 56
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x - 5·y = -11
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
6·x - 9 = -x² - y
x² + 6·x - 9 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = 1
b = 6
c = -9
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
Reemplazamos por los valores y calculamos:
Vₓ = -3
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² + 6·Vₓ - 9
Vy = (-3)² + 6·(-3) - 9
Vy = 9 - 18 - 9
Vy = -18
El vértice es:
V = (-3; -18)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x - 5·y = -11
Separamos en términos:
La pendiente es:
La ordenada al origen es:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática