Problema n° 1-n de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-n

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

6·x - 9 = -x² - y
2·x - 5·y = -11

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

6·x - 9 = -x² - y (1)
2·x - 5·y = -11 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

6·x - 9 = -x² - y

y = x² + 6·x - 9

Reemplazamos "y" en la ecuación (2):

2·x - 5·y = -11

2·x - 5·(x² + 6·x - 9) = -11

2·x - 5·x² - 30·x + 45 = -11

Igualamos a cero:

2·x - 5·x² - 30·x + 45 + 11 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-5·x² - 30·x + 2·x + 45 + 11 = 0

-5·x² - 28·x + 56 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -5

b = -28

c = 56

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-28) ± (-28)² - 4·(-5)·56
2·(-5)
x1,2 =28 ± 784 + 1.120
-10
x1,2 =28 ± 1.904
-10
x1,2 =28 ± 4²·119
-10
x1,2 =28 ± 4·119
-10
x1,2 =14 ± 2·119
-5

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 =14 + 2·119
-5
x2 =14 - 2·119
-5

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x - 5·y = -11

y =2·x + 11
5

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

 14 + 2·119+ 11
y1 =-5
5
 28 + 4·119+ 11
y1 =-5
5
 28 + 4·119 + 11·(-5)
y1 =-5
5
y1 =28 + 4·119 - 55
-25
y1 =-27 + 4·119
-25
y1 =27 - 4·119
25
 14 - 2·119+ 11
y2 =-5
5
 28 - 4·119+ 11
y2 =-5
5
 28 - 4·119 + 11·(-5)
y2 =-5
5
y2 =28 - 4·119 - 55
-25
y2 =-27 - 4·119
-25
y2 =27 + 4·119
25

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P1(14 + 2·119;27 - 4·119)
-525
P2(14 - 2·119;27 + 4·119)
-525

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

6·x - 9 = -x² - y

x² + 6·x - 9 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 6

c = -9

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-6 ± 6² - 4·1·(-9)
2·1
x1,2 =-6 ± 36 + 36
2
x1,2 =-6 ± 2·6²
2
x1,2 =-6 ± 6·2
2

x1,2 = -3 ± 3·2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 = -3 + 3·2

x2 = -3 - 3·2

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vx =x2 + x1
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vx =-3 - 3·2 - 3 + 3·2
2
Vx =-6
2

Vx = -3

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx":

Vy = Vx² + 6·Vx - 9

Vy = (-3)² + 6·(-3) - 9

Vy = 9 - 18 - 9

Vy = -18

El vértice es:

V = (Vx; Vy)

V = (-3; -18)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

2·x - 5·y = -11

y =2·x + 11
5

Separamos en términos:

y =2·x +11
55

La pendiente es:

m =2
5

La ordenada al origen es:

b =11
5

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.
Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.