Problema nº 1-n de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-n
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
6·x - 9 = -x² - y
2·x - 5·y = -11
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
6·x - 9 = -x² - y (1)
2·x - 5·y = -11 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
6·x - 9 = -x² - y
y = x² + 6·x - 9
Reemplazamos "y" en la ecuación (2):
2·x - 5·y = -11
2·x - 5·(x² + 6·x - 9) = -11
2·x - 5·x² - 30·x + 45 = -11
Igualamos a cero:
2·x - 5·x² - 30·x + 45 + 11 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-5·x² - 30·x + 2·x + 45 + 11 = 0
-5·x² - 28·x + 56 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = -5
b = -28
c = 56
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-28) ± √(-28)² - 4·(-5)·56 |
| 2·(-5) |
| x1,2 = | 28 ± √784 + 1.120 |
| -10 |
| x1,2 = | 28 ± √1.904 |
| -10 |
| x1,2 = | 28 ± √4²·119 |
| -10 |
| x1,2 = | 28 ± 4·√119 |
| -10 |
| x1,2 = | 14 ± 2·√119 |
| -5 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
| x₁ = | 14 + 2·√119 |
| -5 |
| x₂ = | 14 - 2·√119 |
| -5 |
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x - 5·y = -11
| y = | 2·x + 11 |
| 5 |
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
| 2· | 14 + 2·√119 | + 11 | |
| y₁ = | -5 | ||
| 5 | |||
| 28 + 4·√119 | + 11 | |
| y₁ = | -5 | |
| 5 | ||
| 28 + 4·√119 + 11·(-5) | |
| y₁ = | -5 |
| 5 |
| y₁ = | 28 + 4·√119 - 55 |
| -25 |
| y₁ = | -27 + 4·√119 |
| -25 |
| y₁ = | 27 - 4·√119 |
| 25 |
| 2· | 14 - 2·√119 | + 11 | |
| y₂ = | -5 | ||
| 5 | |||
| 28 - 4·√119 | + 11 | |
| y₂ = | -5 | |
| 5 | ||
| 28 - 4·√119 + 11·(-5) | |
| y₂ = | -5 |
| 5 |
| y₂ = | 28 - 4·√119 - 55 |
| -25 |
| y₂ = | -27 - 4·√119 |
| -25 |
| y₂ = | 27 + 4·√119 |
| 25 |
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
| P₁( | 14 + 2·√119 | ; | 27 - 4·√119 | ) |
| -5 | 25 |
| P₂( | 14 - 2·√119 | ; | 27 + 4·√119 | ) |
| -5 | 25 |
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
6·x - 9 = -x² - y
x² + 6·x - 9 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = 1
b = 6
c = -9
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -6 ± √6² - 4·1·(-9) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -6 ± √36 + 36 |
| 2 |
| x1,2 = | -6 ± √2·6² |
| 2 |
| x1,2 = | -6 ± 6·√2 |
| 2 |
x1,2 = -3 ± 3·√2
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
x₁ = -3 + 3·√2
x₂ = -3 - 3·√2
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | -3 - 3·√2 - 3 + 3·√2 |
| 2 |
| Vₓ = | -6 |
| 2 |
Vₓ = -3
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² + 6·Vₓ - 9
Vy = (-3)² + 6·(-3) - 9
Vy = 9 - 18 - 9
Vy = -18
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (-3; -18)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
2·x - 5·y = -11
| y = | 2·x + 11 |
| 5 |
Separamos en términos:
| y = | 2 | ·x + | 11 |
| 5 | 5 |
La pendiente es:
| m = | 2 |
| 5 |
La ordenada al origen es:
| b = | 11 |
| 5 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática