Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

Problema n° 1-o de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-o

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - 1 = y
5·x - 4·y = 2

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

x² - 1 = y (1)
5·x - 4·y = 2 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

5·x - 4·y = 2

5·x - 4·(x² - 1) = 2

Resolvemos:

5·x - 4·x² + 4 = 2

Igualamos a cero:

5·x - 4·x² + 4 - 2 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-4·x² + 5·x + 2 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = -4

b = 5

c = 2

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-5 ± √5² - 4·(-4)·2
	2·(-4)

x_1,2 =	-5 ± √25 + 32
	-8

x_1,2 =	-5 ± √57
	-8

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ =	-5 + √57
	-8

x₂ =	-5 - √57
	-8

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

5·x - 4·y = 2

y =	5·x - 2
	4

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

y₁ =	5·x₁ - 2
	4

	5·	-5 + √57	- 2
y₁ =		-8
	4

	-25 + 5·√57	- 2
y₁ =	-8
	4

	-25 + 5·√57 - 2·(-8)
y₁ =	-8
y₁ =	4

y₁ =	-25 + 5·√57 - 16
	-32

y₁ =	-41 + 5·√57
	-32

y₂ =	5·x₂ - 2
	4

	5·	-5 - √57	- 2
y₂ =		-8
	4

	-25 - 5·√57	- 2
y₂ =	-8
	4

	-25 - 5·√57 - 2·(-8)
y₂ =	-8
y₂ =	4

y₂ =	-25 - 5·√57 - 16
	-32

y₂ =	-41 - 5·√57
	-32

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(	-5 + √57	;	-41 + 5·√57	)
	-8		-32

P₂(	-5 - √57	;	-41 - 5·√57	)
	-8		-32

Aproximadamente: P₁(-0,32; -0,9) ∧ P₂(1,57; 1,46)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - 1 = y

x² - 1 = 0

Despejamos "x":

x² = 1

x_1,2 = ±√1

x_1,2 = ±1

x₁ = 1

x₂ = -1

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

V_x =	x₂ + x₁
	2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x =	-1 + 1
	2

V_x =	0
	2

V_x = 0

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = V_x² - 1

V_y = 0² - 1

V_y = -1

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (0; -1)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

5·x - 4·y = 2

y =	5·x - 2
	4

Separamos en términos:

y =	5	·x -	1
	4		2

La pendiente es:

m =	5
	4

La ordenada al origen es:

b = -	1
	2

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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