Problema n° 1-o de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-o

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - 1 = y
5·x - 4·y = 2

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

x² - 1 = y (1)
5·x - 4·y = 2 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

5·x - 4·y = 2

5·x - 4·(x² - 1) = 2

Resolvemos:

5·x - 4·x² + 4 = 2

Igualamos a cero:

5·x - 4·x² + 4 - 2 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-4·x² + 5·x + 2 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -4

b = 5

c = 2

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-5 ± 5² - 4·(-4)·2
2·(-4)
x1,2 =-5 ± 25 + 32
-8
x1,2 =-5 ± 57
-8

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 =-5 + 57
-8
x2 =-5 - 57
-8

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

5·x - 4·y = 2

y =5·x - 2
4

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

y1 =5·x1 - 2
4
 -5 + 57- 2
y1 =-8
4
 -25 + 5·57- 2
y1 =-8
4
 -25 + 5·57 - 2·(-8)
y1 =-8
4
y1 =-25 + 5·57 - 16
-32
y1 =-41 + 5·57
-32
y2 =5·x2 - 2
4
 -5 - 57- 2
y2 =-8
4
 -25 - 5·57- 2
y2 =-8
4
 -25 - 5·57 - 2·(-8)
y2 =-8
4
y2 =-25 - 5·57 - 16
-32
y2 =-41 - 5·57
-32

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P1(-5 + 57;-41 + 5·57)
-8-32
P2(-5 - 57;-41 - 5·57)
-8-32

Aproximadamente: P1(-0,32; -0,9) ∧ P2(1,57; 1,46)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² - 1 = y

x² - 1 = 0

Despejamos "x":

x² = 1

x1,2 = ±1

x1,2 = ±1

x1 = 1

x2 = -1

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vx =x2 + x1
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vx =-1 + 1
2
Vx =0
2

Vx = 0

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx":

Vy = Vx² - 1

Vy = 0² - 1

Vy = -1

El vértice es:

V = (Vx; Vy)

V = (0; -1)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

5·x - 4·y = 2

y =5·x - 2
4

Separamos en términos:

y =5·x -1
42

La pendiente es:

m =5
4

La ordenada al origen es:

b = -1
2

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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