Problema nº 1-o de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-o
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
- La ordenada al origen y la pendiente de la recta.
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
5·x - 4·y = 2
5·x - 4·(x² - 1) = 2
Resolvemos:
5·x - 4·x² + 4 = 2
Igualamos a cero:
5·x - 4·x² + 4 - 2 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-4·x² + 5·x + 2 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = -4
b = 5
c = 2
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x - 4·y = 2
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
Aproximadamente: P₁(-0,32; -0,9) ∧ P₂(1,57; 1,46)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - 1 = y
x² - 1 = 0
Despejamos "x":
x² = 1
x1,2 = ±1
x₁ = 1
x₂ = -1
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
Reemplazamos por los valores y calculamos:
Vₓ = 0
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² - 1
Vy = 0² - 1
Vy = -1
El vértice es:
V = (0; -1)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x - 4·y = 2
Separamos en términos:
La pendiente es:
La ordenada al origen es:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática