Problema n° 1-p de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-p

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² - y + 8·x - 20 = 0
4·x - 3·y - 1 = 0

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

x² - y + 8·x - 20 = 0 (1)
4·x - 3·y - 1 = 0 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

x² - y + 8·x - 20 = 0

y = x² + 8·x - 20

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

4·x - 3·y - 1 = 0

4·x - 3·(x² + 8·x - 20) - 1 = 0

Resolvemos:

4·x - 3·x² - 24·x + 60 - 1 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-3·x² + 4·x - 24·x + 60 - 1 = 0

-3·x² - 20·x + 59 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = -3

b = -20

c = 59

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-20) ± (-20)² - 4·(-3)·59
2·(-3)
x1,2 =20 ± 400 + 708
-6
x1,2 =20 ± 1.108
-6
x1,2 =20 ± 2²·277
-6
x1,2 =20 ± 2·277
-6
x1,2 =10 ± 277
-3

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 =10 + 277
-3
x2 =10 - 277
-3

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x - 3·y - 1 = 0

y =4·x - 1
3

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

 10 + 277- 1
y1 =-3
3
 40 + 4·277- 1
y1 =-3
3
 40 + 4·277 - 1·(-3)
y1 =-3
3
y1 =40 + 4·277 + 3
-9
y1 =43 + 4·277
-9
 10 - 277- 1
y2 =-3
3
 40 - 4·277- 1
y2 =-3
3
 40 - 4·277 - 1·(-3)
y2 =-3
3
y2 =40 - 4·277 + 3
-9
y2 =43 - 4·277
-9

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P1(10 + 277;43 + 4·277)
-3-9
P2(10 - 277;43 - 4·277)
-3-9

Aproximadamente: P1(2,21; 2,62) ∧ P2(-8,88; -12,17)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

y = x² + 8·x - 20

0 = x² + 8·x - 20

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 8

c = -20

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-8 ± 8² - 4·1·(-20)
2·1
x1,2 =-8 ± 64 + 80
2
x1,2 =-8 ± 144
2
x1,2 =-8 ± 12
2

x1,2 = -4 ± 6

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x1 = -4 + 6

x1 = 2

x2 = -4 - 6

x2 = -10

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vx =x2 + x1
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vx =-10 + 2
2
Vx =-8
2

Vx = -4

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vx":

Vy = Vx² + 8·Vx - 20

Vy = (-4)² + 8·(-4) - 20

Vy = 16 - 32 - 20

Vy = -36

El vértice es:

V = (Vx; Vy)

V = (-4; -36)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x - 3·y - 1 = 0

y =4·x - 1
3

Separamos en términos:

y =4·x -1
33

La pendiente es:

m =4
3

La ordenada al origen es:

b = -1
3

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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