Problema nº 1-p de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02

Enunciado del ejercicio nº 1-p

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

• Las raíces de la parábola (si existen) y el vértice.
• La ordenada al origen y la pendiente de la recta.

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (1):

x² - y + 8·x - 20 = 0

y = x² + 8·x - 20

Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):

4·x - 3·y - 1 = 0

4·x - 3·(x² + 8·x - 20) - 1 = 0

Resolvemos:

4·x - 3·x² - 24·x + 60 - 1 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-3·x² + 4·x - 24·x + 60 - 1 = 0

-3·x² - 20·x + 59 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = -3

b = -20

c = 59

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x - 3·y - 1 = 0

Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

Aproximadamente: P₁(2,21; 2,62) ∧ P₂(-8,88; -12,17)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

y = x² + 8·x - 20

0 = x² + 8·x - 20

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = 8

c = -20

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 = -4 ± 6

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":

x₁ = -4 + 6

x₁ = 2

x₂ = -4 - 6

x₂ = -10

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vₓ = -4

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":

V_y = Vₓ² + 8·Vₓ - 20

V_y = (-4)² + 8·(-4) - 20

V_y = 16 - 32 - 20

V_y = -36

El vértice es:

V = (-4; -36)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

4·x - 3·y - 1 = 0

Separamos en términos:

La pendiente es:

La ordenada al origen es:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática