Problema n° 1-q de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-q

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² + 8·y = 0
y = 2·x

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.

x² + 8·y = 0 (1)
y = 2·x (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Reemplazamos "y" de la ecuación (2) en la (1):

x² + 8·(2·x) = 0

x² + 16·x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x + 16) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x + 16 = 0 ⇒ x = -16

x₁ = 0

x₂ = -16

Reemplazamos "x" en la ecuación lineal (2):

y₁ = 2·0

y₁ = 0

y₂ = 2·(-16)

y₂ = -32

Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:

P₁(0; 0)

P₂(-16; -32)

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² + 8·y = 0

x² + 8·0 = 0

x² = 0

x_1,2 = 0

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

V_x =	x₂ + x₁
	2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V_x =	0 + 0
	2

V_x = 0

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "V_x":

V_y = -V_x²/8

V_y = -0²/8

V_y = 0

El vértice es:

V = (V_x; V_y)

V = (0; 0)

- Recta:

De la ecuación lineal (2):

y = 2·x

La pendiente es:

m = 2

La ordenada al origen es:

b = 0

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina