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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones con determinantes

Problema n° 4-a de sistemas de ecuaciones con tres incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 4-a

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:

x - y - z = 6
3·y - x - z = 12
7·z - y - x = 24

Solución

x - y - z = 6
3·y - x - z = 12
7·z - y - x = 24

Ordenamos las ecuaciones y aplicamos determinantes:

x - y - z = 6
-x + 3·y - z = 12
-x - y + 7·z = 24

x =Δx
Δ
y =Δy
Δ
z =Δz
Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

 1-1-1
Δ =-13-1
 -1-17

Δ = 1·3·7 + (-1)·(-1)·(-1) + (-1)·(-1)·(-1) - [(-1)·3·(-1) + (-1)·(-1)·7 + 1·(-1)·(-1)]

Δ = 21 - 1 - 1 - (3 + 7 + 1)

Δ = 19 - 11

Δ = 8

Calculamos el determinante de "x":

 6-1-1
Δx =123-1
 24-17

Δx = 6·3·7 + (-1)·24·(-1) + (-1)·12·(-1) - [(-1)·3·24 + (-1)·12·7 + 6·(-1)·(-1)]

Δx = 126 + 24 + 12 - (-72 - 84 + 6)

Δx = 162 - (-150)

Δx = 312

Calculamos el determinante de "y":

 16-1
Δy =-112-1
 -1247

Δy = 1·12·7 + 6·(-1)·(-1) + (-1)·(-1)·24 - [(-1)·12·(-1) + 6·(-1)·7 + 1·(-1)·24]

Δy = 84 + 6 + 24 - (12 - 42 - 24)

Δy = 114 - (-54)

Δy = 168

Calculamos el determinante de "z":

 1-16
Δz =-1312
 -1-124

Δz = 1·3·24 + (-1)·(-1)·12 + 6·(-1)·(-1) - [6·3·(-1) + (-1)·(-1)·24 + 1·12·(-1)]

Δz = 72 + 12 + 6 - (-18 + 24 - 12)

Δz = 90 - (-6)

Δz = 96

Calculamos las incógnitas:

x =Δx
Δ
x =312
8

x = 39

y =Δy
Δ
y =168
8

y = 21

z =Δz
Δ
z =96
8

z = 12

Resultado, los valores de las incógnitas son:

x = 39

y = 21

z = 12

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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