Ejemplo, cómo resolver ecuaciones con determinantes
Problema n° 4-a de sistemas de ecuaciones con tres incágnitas
Enunciado del ejercicio n° 4-a
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:
x - y - z = 6
3·y - x - z = 12
7·z - y - x = 24
Solución
x - y - z = 6
3·y - x - z = 12
7·z - y - x = 24
Ordenamos las ecuaciones y aplicamos determinantes:
x - y - z = 6
-x + 3·y - z = 12
-x - y + 7·z = 24
| x = | Δx |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
| z = | Δz |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| 1 | -1 | -1 | |
| Δ = | -1 | 3 | -1 |
| -1 | -1 | 7 |
Δ = 1·3·7 + (-1)·(-1)·(-1) + (-1)·(-1)·(-1) - [(-1)·3·(-1) + (-1)·(-1)·7 + 1·(-1)·(-1)]
Δ = 21 - 1 - 1 - (3 + 7 + 1)
Δ = 19 - 11
Δ = 8
Calculamos el determinante de "x":
| 6 | -1 | -1 | |
| Δx = | 12 | 3 | -1 |
| 24 | -1 | 7 |
Δx = 6·3·7 + (-1)·24·(-1) + (-1)·12·(-1) - [(-1)·3·24 + (-1)·12·7 + 6·(-1)·(-1)]
Δx = 126 + 24 + 12 - (-72 - 84 + 6)
Δx = 162 - (-150)
Δx = 312
Calculamos el determinante de "y":
| 1 | 6 | -1 | |
| Δy = | -1 | 12 | -1 |
| -1 | 24 | 7 |
Δy = 1·12·7 + 6·(-1)·(-1) + (-1)·(-1)·24 - [(-1)·12·(-1) + 6·(-1)·7 + 1·(-1)·24]
Δy = 84 + 6 + 24 - (12 - 42 - 24)
Δy = 114 - (-54)
Δy = 168
Calculamos el determinante de "z":
| 1 | -1 | 6 | |
| Δz = | -1 | 3 | 12 |
| -1 | -1 | 24 |
Δz = 1·3·24 + (-1)·(-1)·12 + 6·(-1)·(-1) - [6·3·(-1) + (-1)·(-1)·24 + 1·12·(-1)]
Δz = 72 + 12 + 6 - (-18 + 24 - 12)
Δz = 90 - (-6)
Δz = 96
Calculamos las incógnitas:
| x = | Δx |
| Δ |
| x = | 312 |
| 8 |
x = 39
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 168 |
| 8 |
y = 21
| z = | Δz |
| Δ |
| z = | 96 |
| 8 |
z = 12
Resultado, los valores de las incógnitas son:
x = 39
y = 21
z = 12
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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