Ejemplo, cómo resolver ecuaciones con determinantes
Problema n° 4-b de sistemas de ecuaciones con tres incágnitas
Enunciado del ejercicio n° 4-b
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:
3·x + 2·y + 4·z = 19
2·x + 3·y + 3·z = 21
3·x - y + z = 4
Solución
3·x + 2·y + 4·z = 19
2·x + 3·y + 3·z = 21
3·x - y + z = 4
Aplicamos determinantes:
| x = | Δx |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
| z = | Δz |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| 3 | 2 | 4 | |
| Δ = | 2 | 3 | 3 |
| 3 | -1 | 1 |
Δ = 3·3·1 + 2·3·3 + 4·2·(-1) - [4·3·3 + 2·2·1 + 3·3·(-1)]
Δ = 9 + 18 - 8 - (36 + 4 - 9)
Δ = 19 - 31
Δ = -12
Calculamos el determinante de "x":
| 19 | 2 | 4 | |
| Δx = | 21 | 3 | 3 |
| 4 | -1 | 1 |
Δx = 19·3·1 + 2·4·3 + 4·21·(-1) - [4·3·4 + 2·21·1 + 19·(-1)·3]
Δx = 57 + 24 - 84 - (48 + 42 - 57)
Δx = -3 - 33
Δx = -36
Calculamos el determinante de "y":
| 3 | 19 | 4 | |
| Δy = | 2 | 21 | 3 |
| 3 | 4 | 1 |
Δy = 3·21·1 + 19·3·3 + 4·2·4 - (4·21·3 + 19·2·1 + 3·4·3)
Δy = 63 + 171 + 32 - (252 + 38 + 36)
Δy = 266 - 326
Δy = -60
Calculamos el determinante de "z":
| 3 | 2 | 19 | |
| Δz = | 2 | 3 | 21 |
| 3 | -1 | 4 |
Δz = 3·3·4 + 2·3·21 + 19·2·(-1) - [19·3·3 + 2·2·4 + 3·21·(-1)]
Δz = 36 + 126 - 38 - (171 + 16 - 63)
Δz = 124 - 124
Δz = 0
Calculamos las incógnitas:
| x = | Δx |
| Δ |
| x = | -36 |
| -12 |
x = 3
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | -60 |
| -12 |
y = 5
| z = | Δz |
| Δ |
| z = | 0 |
| -12 |
z = 0
Resultado, los valores de las incógnitas son:
x = 3
y = 5
z = 0
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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