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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones por Gauss

Problema n° 4-c de sistemas de ecuaciones con tres incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 4-c

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:

6/x + 4/y + 5/z = 4
3/x = 4 - 8/y - 5/z
9/x - 10/z = 4 - 12/y

Solución

Ordenamos las ecuaciones:

6/x + 4/y + 5/z = 4
3/x + 8/y + 5/z = 4
9/x + 12/y - 10/z = 4

Aplicamos el método de eliminación de Gauss.

Multiplicamos la segunda ecuación por "-1" y la sumamos a la primera ecuación:

6/x+4/y+5/z= 4
-3/x-8/y-5/z= -4
3/x-4/y0= 0

Multiplicamos la segunda ecuación por "2" y la sumamos a la tercera ecuación:

6/x+16/y+10/z= 8
9/x+12/y-10/z= 4
15/x+28/y0= 12

En esta primera parte el sistema queda:

3/x - 4/y = 0
3/x + 8/y + 5/z = 4
15/x + 28/y = 12

La segunda ecuación no se opera, multiplicamos la primera ecuación por "-5" y la sumamos a la tercera ecuación:

-15/x+20/y= 0
15/x+28/y= 12
0+48/y= 12

En esta segunda parte el sistema queda:

3/x - 4/y = 0
3/x + 8/y + 5/z = 4
48/y = 12

De la tercera ecuación despejamos "y" y reemplazamos en la primera ecuación:

y = 48/12

y = 4

3/x - 4/y = 0

3/x - 4/4 = 0

3/x - 1 = 0

Despejamos "x":

3/x = 1

x = 3/1

x = 3

Reemplazamos "x" e "y" en la segunda ecuación:

3/3 + 8/4 + 5/z = 4

1 + 2 + 5/z = 4

3 + 5/z = 4

5/z = 4 - 3

5/z = 1

Despejamos "z":

z = 5/1

z = 5

Resultado, los valores de las incógnitas son:

x = 3

y = 4

z = 5

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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