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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones

Problema n° 6 de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 6

¿Para qué valores reales "a" y "b" el siguiente sistema es determinado, indeterminado o incompatible?

3·x + a·y = 8
b·x + 4·y = 2

Solución

Aplicando determinantes, para que el sistema sea compatible determinado, el determinante del sistema debe ser distinto de cero.

Δ ≠ 0

Calculamos el determinante del sistema:

Δ =3a
b4

Δ = 3·4 - a·b

Δ = 12 - a·b (1)

Δ = 12 - a·b ≠ 0

12 - a·b ≠ 0

a·b ≠ 12

Respuesta, el sistema es compatible determinado para:

a·b ≠ 12

Para que el sistema sea incompatible se debe cumplir:

Δ = 0 ∧ Δx ≠ 0 ∧ Δy ≠ 0

Aplicamos determinantes:

x =Δx
Δ
y =Δy
Δ
Δx =8a
24

Δx = 8·4 - 2·a

Δx = 32 - 2·a (2)

Δx = 32 - 2·a ≠ 0

32 - 2·a ≠ 0

2·a ≠ 32

a ≠ 16

Δy =38
b2

Δy = 3·2 - 8·b

Δy = 6 - 8·b (3)

Δy = 6 - 8·b ≠ 0

6 - 8·b ≠ 0

8·b ≠ 6

b ≠ ¾

Respuesta, el sistema es incompatible para:

a·b = 12

a ≠ 16

b ≠ ¾

Para que el sistema sea incompatible determinado debe cumplirse:

Δ = 0 ∧ Δx = 0 ∧ Δy = 0

De las ecuaciones (1), (2) y (3) tenemos que:

12 - a·b = 0

32 - 2·a = 0

6 - 8·b = 0

Respuesta, el sistema es incompatible determinado para:

a·b = 12

a = 16

b = ¾

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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