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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 1-b de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas - TP05

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

4·x + 3·y = 27
6·x + 3·y - 3 = 0

Solución

4·x + 3·y = 27
6·x + 3·y - 3 = 0

En la segunda ecuación sacamos factor común "3" y simplificamos:

I) Igualación

4·x + 3·y = 27
2·x + y - 1 = 0

Usaremos este sistema para todos los métodos.

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =-4·x + 27
3

y = -2·x + 1

Igualamos y resolvemos:

-4·x + 27= -2·x + 1
3

-4·x + 27 = 3·(-2·x + 1)

-4·x + 27 = -6·x + 3

Despejamos "x":

-4·x + 6·x = -27 + 3

2·x = -24

x = -24/2

x = -12

Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":

y = -2·(-12) + 1

y = 24 + 1

y = 25

Resultado aplicando el método de igualación:

x = -12

y = 25

II) Sustitución

4·x + 3·y = 27
2·x + y - 1 = 0

Despejamos "y" de la segunda ecuación:

y = -2·x + 1

Sustituimos "y" en la primera ecuación:

4·x + 3·(-2·x + 1) = 27

Resolvemos:

4·x - 6·x + 3 = 27

-2·x = 27 - 3

-2·x = 24

Despejamos "x":

x = -24/2

x = -12

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y =-4·(-12) + 27
3
y =48 + 27
3
y =75
3

y = 25

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = -12

y = 25

III) Reducción

4·x + 3·y = 27
2·x + y - 1 = 0

En la segunda ecuación pasamos el término independiente al otro lado del "=":

4·x + 3·y = 27
2·x + y = 1

Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y la restamos a la primera:

4·x + 3·y = 27
2·(2·x + y) = 2·1

4·x + 3·y = 27
4·x + 2·y = 2

3·y - 2·y = 27 - 2

Despejamos "y":

y = 25

Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":

4·x + 3·(25) = 27

4·x + 75 = 27

4·x = -75 + 27

4·x = -48

x = -48/4

x = -12

Resultado aplicando el método de reducción:

x = -12

y = 25

IV) Determinantes

4·x + 3·y = 27
2·x + y - 1 = 0

En la segunda ecuación pasamos el término independiente al otro lado del "=":

4·x + 3·y = 27
2·x + y = 1

x =Δx
Δ
y =Δy
Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =43
21

Δ = 4·1 - 3·2

Δ = 4 - 6

Δ = -2

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δx =273
11

Δx = 27·1 - 3·1

Δx = 27 - 3

Δx = 24

Δy =427
21

Δy = 4·1 - 27·2

Δy = 4 - 54

Δy = -50

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =Δx
Δ
x =24
-2

x = -12

y =Δy
Δ
y =-50
-2

y = 25

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = -12

y = 25

Resultado, el punto de intersección es:

P(-12; 25)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =-4·x+9
31
m1 =-4
3

b1 = 9

y = -2·x + 1

m2 =-2
1

b2 = 1

Gráfica de las rectas

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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