Fisicanet ®

Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas

Problema n° 2 de trigonometría - TP02

Enunciado del ejercicio n° 2

Resolver las siguientes identidades:

a) tg α + cotg α =1
sen α·cos α

b) (sen α + cos α)² + (cos α - sen α)² = 2

c)(1 + cos α)·(1 - cos α)= sec α - cos α
cos α

d) sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α

e)cos² α - sen² β= tg² (π/2 - α)·tg² (π/2 - β) - 1
sen² α·sen² β
f)sen (α + β) + cos (α - β)=sen α + cos α
sen (α - β) - cos (α + β)sen α - cos α

g) cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

h)tg (α + β) + tg (α - β)=2·tg α
1 + tg² β1 - tg² α·tg² β
i)1= cos² α
1 + tg² α

Solución

a)

sen α+cos α=1
cos αsen αsen α·cos α
sen α·sen α + cos α·cos α=1
sen α·cos αsen α·cos α
sen² α + cos² α=1
sen α·cos αsen α·cos α
1=1
sen α·cos αsen α·cos α

b)

sen² α + 2·(sen α)·(cos α) + cos² α + sen² α - 2·(sen α)·(cos α) + cos² α = 2

sen² α + cos² α + sen² α + cos² α = 2

(sen² α + cos² α) + (sen² α + cos² α) = 2

1 + 1 = 2

c)

(1 + cos α)·(1 - cos α)= sec α - cos α
cos α
1² - cos² α= sec α - cos α
cos α
1 - cos² α= sec α - cos α
cos α
1-cos² α= sec α - cos α
cos αcos α

sec α - cos α = sec α - cos α

d)

sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α

(sen² α)² - sen² α = cos4 α - cos² α

(1 - cos² α)² - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α

(1² - 2·1·cos² α + cos4 α) - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α

1 - 2·cos² α + cos4 α - 1 + cos² α = cos4 α - cos² α

-cos² α + cos4 α = cos4 α - cos² α

e)

cos² α - sen² β= tg²(π/2 - α)·tg²(π/2 - β) - 1
sen² α·sen² β
= [sen (π/2 - α)]²·[sen (π/2 - β)]² - 1
cos (π/2 - α)cos (π/2 - β)
= (sen π/2·cos α - cos π/2·sen α·sen π/2·cos β - cos π/2·sen β)² - 1
cos π/2·cos α + sen π/2·sen αcos π/2·cos β + sen π/2·sen β
= (1·cos α - 0·sen α·1·cos β - 0·sen β)² - 1
0·cos α + 1·sen α0·cos β + 1·sen β
= (cos α·cos β)² - 1
sen αsen β
=cos² α·cos² β- 1
sen² αsen² β
=cos² α·cos² β- 1
sen² α·sen² β
=cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β
sen² α·sen² β
=cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β)
sen² α·sen² β
=cos² α - cos² α·sen² β - sen² β + cos² α·sen² β
sen² α·sen² β
=cos² α - sen² β
sen² α·sen² β

f)

Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:

sen (α + β) + cos (α - β)=sen α + cos α
sen (α - β) - cos (α + β)sen α - cos α

Ejemplo de resolución de identidades trigonométricas

(sen α + cos α)·(cos β + sen β)=
(sen α - cos α)·(cos β + sen β)

Simplificamos:

sen α + cos α=sen α + cos α
sen α - cos αsen α - cos α

g)

cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β - sen α·sen β)·(cos α·cos β + sen α·sen β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β)² - (sen α·sen β)² = cos² α - sen² β

cos² α·cos² β - sen² α·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - sen² β = cos² α - sen² β

h)

tg (α + β) + tg (α - β)=2·tg α
1 + tg² β1 - tg² α·tg² β

Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:

tg α + tg β+tg α - tg β 
1 - tg α·tg β1 + tg α·tg β=
1 + tg² β
(tg α + tg β)·(1 + tg α·tg β) + (tg α - tg β)·(1 - tg α·tg β) 
(1 - tg α·tg β)·(1 + tg α·tg β)=
1 + tg² β
tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - (tg β - tg α·tg² β)=
[1 - (tg α·tg β)²]·(1 + tg² β)
tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - tg β + tg α·tg² β=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)
2·tg α + 2·tg α·tg² β=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)

Simplificamos:

2·tg α·(1 + tg² β)=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)
2·tg α=2·tg α
1 - tg² α·tg² β1 - tg² α·tg² β

i)

1= cos² α
1 + tg² α
1= cos² α
1
cos² α 
1·cos² α= cos² α
1

cos² α = cos² α

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.