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Solución del ejercicio n° 2 de resolución de triángulos. Teorema del seno y coseno. Identidades. Problemas resueltos. Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas

Problema n° 2 de trigonometría

Problema n° 2

Resolver las siguientes identidades:

a) tg α + cotg α = 1/[(sen α)·(cos α)]

b) (sen α + cos α)² + (cos α - sen α)² = 2

c) (1 + cos α)·(1 - cos α)/cos α = sec α - cos α

d) sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α

e) (cos² α - sen² β)/[(sen² α)·(sen² β)] = tg² (π/2 - α)·tg² (π/2 - β) - 1

f) [sen (α + β) + cos (α - β)]/[sen (α - β) - cos (α + β)] = (sen α + cos α)/(sen α - cos α)

g) cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

h) [tg (α + β) + tg (α - β)]/(1 + tg² β) = 2·tg α/(1 - tg² α·tg² β)

i) 1/(1 + tg² α) = cos² α

Solución

a.

sen α+cos α=1
cos αsen αsen α·cos α
sen α·sen α + cos α·cos α=1
sen α·cos αsen α·cos α
sen² α + cos² α=1
sen α·cos αsen α·cos α
1=1
sen α·cos αsen α·cos α

b.

sen² α + 2·(sen α)·(cos α) + cos² α + sen² α - 2·(sen α)·(cos α) + cos² α = 2

sen² α + cos² α + sen² α + cos² α = 2

(sen² α + cos² α) + (sen² α + cos² α) = 2

1 + 1 = 2

c.

(1 + cos α)·(1 - cos α)= sec α - cos α
cos α
1² - cos² α= sec α - cos α
cos α
1 - cos² α= sec α - cos α
cos α
1-cos² α= sec α - cos α
cos αcos α

sec α - cos α = sec α - cos α ∎

d.

sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α

(sen² α)² - sen² α = cos4 α - cos² α

(1 - cos² α)² - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α

(1² - 2·1·cos² α + cos4 α) - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α

1 - 2·cos² α + cos4 α - 1 + cos² α = cos4 α - cos² α

-cos² α + cos4 α = cos4 α - cos² α ∎

e.

cos² α - sen² β= tg²(π/2 - α)·tg²(π/2 - β) - 1
sen² α·sen² β
= [sen (π/2 - α)]²·[sen (π/2 - β)]² - 1
cos (π/2 - α)cos (π/2 - β)
= (sen π/2·cos α - cos π/2·sen α·sen π/2·cos β - cos π/2·sen β)² - 1
cos π/2·cos α + sen π/2·sen αcos π/2·cos β + sen π/2·sen β
= (1·cos α - 0·sen α·1·cos β - 0·sen β)² - 1
0·cos α + 1·sen α0·cos β + 1·sen β
= (cos α·cos β)² - 1
sen αsen β
=cos² α·cos² β- 1
sen² αsen² β
=cos² α·cos² β- 1
sen² α·sen² β
=cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β
sen² α·sen² β
=cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β)
sen² α·sen² β
=cos² α - cos² α·sen² β - sen² β + cos² α·sen² β
sen² α·sen² β
=cos² α - sen² β
sen² α·sen² β

f.

Ejemplo de resolución de identidades trigonométricas

g.

cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β - sen α·sen β)·(cos α·cos β + sen α·sen β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β)² - (sen α·sen β)² = cos² α - sen² β

cos² α·cos² β - sen² α·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - sen² β = cos² α - sen² β ∎

h.

Ejemplo de resolución de identidades trigonométricas

i.

1= cos² α
1 + tg² α
1= cos² α
1
cos² α 
1·cos² α= cos² α
1

cos² α = cos² α ∎

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