Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas

Problema n° 2 de trigonometría - TP02

Enunciado del ejercicio n° 2

Resolver las siguientes identidades:

a) tg α + cotg α =	1
	sen α·cos α

b) (sen α + cos α)² + (cos α - sen α)² = 2

c)	(1 + cos α)·(1 - cos α)	= sec α - cos α
	cos α

d) sen⁴ α - sen² α = cos⁴ α - cos² α

e)	cos² α - sen² β	= tg² (π/2 - α)·tg² (π/2 - β) - 1
	sen² α·sen² β

f)	sen (α + β) + cos (α - β)	=	sen α + cos α
	sen (α - β) - cos (α + β)		sen α - cos α

g) cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

h)	tg (α + β) + tg (α - β)	=	2·tg α
	1 + tg² β		1 - tg² α·tg² β

i)	1	= cos² α
	1 + tg² α

Solución

a)

sen α	+	cos α	=	1
cos α	+	sen α	=	sen α·cos α

sen α·sen α + cos α·cos α	=	1
sen α·cos α	=	sen α·cos α

sen² α + cos² α	=	1
sen α·cos α	=	sen α·cos α

1	=	1
sen α·cos α	=	sen α·cos α

∎

sen² α + 2·(sen α)·(cos α) + cos² α + sen² α - 2·(sen α)·(cos α) + cos² α = 2

sen² α + cos² α + sen² α + cos² α = 2

(sen² α + cos² α) + (sen² α + cos² α) = 2

1 + 1 = 2 ∎

(1 + cos α)·(1 - cos α)	= sec α - cos α
cos α

1² - cos² α	= sec α - cos α
cos α

1 - cos² α	= sec α - cos α
cos α

1	-	cos² α	= sec α - cos α
cos α		cos α

sec α - cos α = sec α - cos α ∎

sen⁴ α - sen² α = cos⁴ α - cos² α

(sen² α)² - sen² α = cos⁴ α - cos² α

(1 - cos² α)² - (1 - cos² α) = cos⁴ α - cos² α

(1² - 2·1·cos² α + cos⁴ α) - (1 - cos² α) = cos⁴ α - cos² α

1 - 2·cos² α + cos⁴ α - 1 + cos² α = cos⁴ α - cos² α

-cos² α + cos⁴ α = cos⁴ α - cos² α ∎

cos² α - sen² β	= tg²(π/2 - α)·tg²(π/2 - β) - 1
sen² α·sen² β

= [	sen (π/2 - α)	]²·[	sen (π/2 - β)	]² - 1
	cos (π/2 - α)		cos (π/2 - β)

= (	sen π/2·cos α - cos π/2·sen α	·	sen π/2·cos β - cos π/2·sen β	)² - 1
	cos π/2·cos α + sen π/2·sen α		cos π/2·cos β + sen π/2·sen β

= (	1·cos α - 0·sen α	·	1·cos β - 0·sen β	)² - 1
	0·cos α + 1·sen α		0·cos β + 1·sen β

= (	cos α	·	cos β	)² - 1
	sen α		sen β

=	cos² α	·	cos² β	- 1
	sen² α		sen² β

=	cos² α·cos² β	- 1
	sen² α·sen² β

=	cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β
	sen² α·sen² β

=	cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β)
	sen² α·sen² β

=	cos² α - cos² α·sen² β - sen² β + cos² α·sen² β
	sen² α·sen² β

=	cos² α - sen² β
	sen² α·sen² β

∎

Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:

sen (α + β) + cos (α - β)	=	sen α + cos α
sen (α - β) - cos (α + β)	=	sen α - cos α

Ejemplo de resolución de identidades trigonométricas

(sen α + cos α)·(cos β + sen β)	=
(sen α - cos α)·(cos β + sen β)

Simplificamos:

sen α + cos α	=	sen α + cos α	∎
sen α - cos α		sen α - cos α

cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β - sen α·sen β)·(cos α·cos β + sen α·sen β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β)² - (sen α·sen β)² = cos² α - sen² β

cos² α·cos² β - sen² α·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - sen² β = cos² α - sen² β ∎

tg (α + β) + tg (α - β)	=	2·tg α
1 + tg² β	=	1 - tg² α·tg² β

Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:

tg α + tg β	+	tg α - tg β
1 - tg α·tg β		1 + tg α·tg β	=
1 + tg² β

(tg α + tg β)·(1 + tg α·tg β) + (tg α - tg β)·(1 - tg α·tg β)
(1 - tg α·tg β)·(1 + tg α·tg β)	=
1 + tg² β	=

tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - (tg β - tg α·tg² β)	=
[1 - (tg α·tg β)²]·(1 + tg² β)

tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - tg β + tg α·tg² β	=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)

2·tg α + 2·tg α·tg² β	=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)

Simplificamos:

2·tg α·(1 + tg² β)	=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)

2·tg α	=	2·tg α	∎
1 - tg² α·tg² β		1 - tg² α·tg² β

1	= cos² α
1 + tg² α

1	= cos² α
1	= cos² α
cos² α

1·cos² α	= cos² α
1

cos² α = cos² α ∎

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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