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Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas

Problema n° 2 de trigonometría

Enunciado del ejercicio n° 2

Resolver las siguientes identidades:

a) tg α + cotg α =1
sen α·cos α

b) (sen α + cos α)² + (cos α - sen α)² = 2

c)(1 + cos α)·(1 - cos α)= sec α - cos α
cos α

d) sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α

e)cos² α - sen² β= tg² (π/2 - α)·tg² (π/2 - β) - 1
sen² α·sen² β
f)sen (α + β) + cos (α - β)=sen α + cos α
sen (α - β) - cos (α + β)sen α - cos α

g) cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

h)tg (α + β) + tg (α - β)=2·tg α
1 + tg² β1 - tg² α·tg² β
i)1= cos² α
1 + tg² α

Solución

a)

sen α+cos α=1
cos αsen αsen α·cos α
sen α·sen α + cos α·cos α=1
sen α·cos αsen α·cos α
sen² α + cos² α=1
sen α·cos αsen α·cos α
1=1
sen α·cos αsen α·cos α

b)

sen² α + 2·(sen α)·(cos α) + cos² α + sen² α - 2·(sen α)·(cos α) + cos² α = 2

sen² α + cos² α + sen² α + cos² α = 2

(sen² α + cos² α) + (sen² α + cos² α) = 2

1 + 1 = 2

c)

(1 + cos α)·(1 - cos α)= sec α - cos α
cos α
1² - cos² α= sec α - cos α
cos α
1 - cos² α= sec α - cos α
cos α
1-cos² α= sec α - cos α
cos αcos α

sec α - cos α = sec α - cos α

d)

sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α

(sen² α)² - sen² α = cos4 α - cos² α

(1 - cos² α)² - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α

(1² - 2·1·cos² α + cos4 α) - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α

1 - 2·cos² α + cos4 α - 1 + cos² α = cos4 α - cos² α

-cos² α + cos4 α = cos4 α - cos² α

e)

cos² α - sen² β= tg²(π/2 - α)·tg²(π/2 - β) - 1
sen² α·sen² β
= [sen (π/2 - α)]²·[sen (π/2 - β)]² - 1
cos (π/2 - α)cos (π/2 - β)
= (sen π/2·cos α - cos π/2·sen α·sen π/2·cos β - cos π/2·sen β)² - 1
cos π/2·cos α + sen π/2·sen αcos π/2·cos β + sen π/2·sen β
= (1·cos α - 0·sen α·1·cos β - 0·sen β)² - 1
0·cos α + 1·sen α0·cos β + 1·sen β
= (cos α·cos β)² - 1
sen αsen β
=cos² α·cos² β- 1
sen² αsen² β
=cos² α·cos² β- 1
sen² α·sen² β
=cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β
sen² α·sen² β
=cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β)
sen² α·sen² β
=cos² α - cos² α·sen² β - sen² β + cos² α·sen² β
sen² α·sen² β
=cos² α - sen² β
sen² α·sen² β

f)

Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:

sen (α + β) + cos (α - β)=sen α + cos α
sen (α - β) - cos (α + β)sen α - cos α

Ejemplo de resolución de identidades trigonométricas

(sen α + cos α)·(cos β + sen β)=
(sen α - cos α)·(cos β + sen β)

Simplificamos:

sen α + cos α=sen α + cos α
sen α - cos αsen α - cos α

g)

cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β - sen α·sen β)·(cos α·cos β + sen α·sen β) = cos² α - sen² β

(cos α·cos β)² - (sen α·sen β)² = cos² α - sen² β

cos² α·cos² β - sen² α·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β

cos² α - sen² β = cos² α - sen² β

h)

tg (α + β) + tg (α - β)=2·tg α
1 + tg² β1 - tg² α·tg² β

Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:

tg α + tg β+tg α - tg β 
1 - tg α·tg β1 + tg α·tg β=
1 + tg² β
(tg α + tg β)·(1 + tg α·tg β) + (tg α - tg β)·(1 - tg α·tg β) 
(1 - tg α·tg β)·(1 + tg α·tg β)=
1 + tg² β
tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - (tg β - tg α·tg² β)=
[1 - (tg α·tg β)²]·(1 + tg² β)
tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - tg β + tg α·tg² β=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)
2·tg α + 2·tg α·tg² β=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)

Simplificamos:

2·tg α·(1 + tg² β)=
(1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β)
2·tg α=2·tg α
1 - tg² α·tg² β1 - tg² α·tg² β

i)

1= cos² α
1 + tg² α
1= cos² α
1
cos² α 
1·cos² α= cos² α
1

cos² α = cos² α

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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